2018年中考数学专题:解答图形存在问题的两种途径

编辑: 逍遥路 关键词: 九年级 来源: 高中学习网
解答图形存在问题的两种途径
    图形存在问题在各地中考中屡见不鲜.这类问题常常以图形的变化或图形上点的运动为主线,要求我们判断和说明符合某一结论的现象是否存在.解答这类问题,可首先假设这种现象存在,再考虑利用化“动”为“静”的策略,构造方程关系式或函数 关系式,进行判断和说明.现举例分析如下:
    一、从构造方程关系式入手
    例1  (临沂市中考)已知,在矩形 中, , ,动点 从点 出发沿边  向点 运动.
    (1)如图1,当 ,点 运动到边 的中点时,请证明: .
 
    (2)如图2,若 时,点 在运动的过程中,是否存在 ?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
    解析(1)先证明 .
    ∵四边形 是矩形,
    ∴ .
∵ ,点M= 是边 的中点,
∴ , ,
∴ 和 都是等腰直角三角形,
∴ , ,
∴ .
(2)假设存在题中所求,则存在符合 要求的正实数 ,使得 .
由 ,得
    当 时,
     ,且两根均大于0,所以存在两个不同的正实数 ,使得 ,必存在使 的点 ;
    当 时,
     ,所以不存在正实数 ,使得 ,必不存在使 的点 .
    说明   解答(1)的关键在于将证明 转化为证明 和 都是等腰直角三角形.
    解答(2)的关键在于发现:若 ,则 .根据其对 应边的比相等的性质,能构造一个关于 的一元二次方程.接下去只需要判断或说明这个关于 的 一元二次方程是否存在正实数根.
例2  (南通市中考)如图3,在 中, c, cm,点 是  边的中点,点 从点 出发,以  c m/s( )的速度沿 匀速向点 运动;点 同时以1cm/s的速度从点 出发,沿 匀速向点 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为 s.
 
    (1)若 , ,求 的值.
    (2)点 在 上,四边形 为平行四边形.
    ①若 ,求 的长.
    ②是否存在实数 ,使得点 在 的平分线上?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由.
解析  (1)在 中,由已知条件 ,可得
∵ 时,
 , , ,
∴ ,
解得 .
    (2)①由四边形 为平行四边形,得
解得 .
∴ .
    ②假设存在符合要求的实数 ,连 (如图4).
∵ 平分 , ,
∴ ,  ,
∴ , ,
∴四边形 是菱形.
    因为 ,所以不存在实数符合要求的 ,使得点 在 的平分线上.
    说明  解答(1)的关键在于利用 的条件,根据其对应边的比相等的性质构造一个关于 的方程.
    解答(2)①的关键在于从四边形 为平行四边形入手,推出 为等腰三角形及 ;解答(2)②的关键在于发现,若点 在 的平分线上时,四边形 是菱形,根据 且 ,能得两个关于 和 的方程.
    二、从构造函数关系式入手
    例3  (南充市)如图5,在 中, , 是 中点,把一三角尺的直角顶点放在点 处,以 为旋转中心,旋转三角尺, 使三角尺的两直角边与 的两直角边分别交于点 、 .
    (1)求证: .
    (2)连结 ,探究:在旋转三角尺 的过程中, 的周长是否存在最小值?若存在,求出最小值; 若不存在,请说明理由.
 
    解析  (1)如图6所示,连结 ,只需证明 .
因为 是等腰直角三角形,且 是斜边 的中点,
∴ , , 平分 .
∴ .
(2)假设存在最小值,则存在正实数 ,使得 ,且使得 的周长 有最小值.
∴ ,
∵  ,
∴当 时, 有最小值为8,
    ∴ 的最小值 .
    所以在旋转三角尺的过程中, 的周长存在最小值为 .
     说明  解答(7)的关键在于连结 ,将证明 转化为证明 .
    解答(2)的关键在 于构造l= 与 的函数关系式,并利用配方方法确定 的 最小值为8.
    例4  (德州市)如图7所示,现有一张边长为4的 正方形纸片 ,点 为正方形 边上的一点(不与点 、 点重合).将正方形纸片折叠,使点 落在 处,点 落在 处, 交 于 ,折痕为 ,连结 、 .
    (1)求证: .
    (2)当点 在边 上移动时, 的周长是否发生变化?并证明你的结论.
(3)设 为 ,四边形 的面积为 ,试问 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
 
    解析  (1)注意 到 ,那么 .
因为四边形 沿拆痕 折叠后与四边形 重合,
∴ ,
 ∴ .
(2)如图8,过点 作 于点 .
∵ ,
∴点 在 的平分线上,
∴ ,
∴  , ,
∴ , ,
∴ 
∴ 的 周长 .
    所以点 在边 上移动时, 的周长不会发生变化.
(3)假设四边形 的面积 存在最小值.由于四边形 沿折痕 折叠后与四边形 重合,则 .
∵ ,
 .
过点 作 ,垂足为 ,
则  , .
∵ 为折痕,点 与点 是一对对应点,
 .
    因为当 时, 的最小值为6,
    所以四边形 的面积 存在最小值为6.
    说明解答(1)的关键在于利用轴对称图形的性质证明 .
    解答(2)的关键在于过点 作 于点 ,并利用(1)的结论证明 .
    解答(3)的关键在于用 分别表示 和 .要用 表示 离不开用 表示 ,要用 表示  ,过点 作 至关重要.
 
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