实际生活中的反比例函数2

编辑: 逍遥路 关键词: 九年级 来源: 高中学习网
数学:1.3《实际生活中的反比例函数》教案2(湘教版九年级下)
三维目标
一、知识与技能
1.能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题.
2.能综合利用工程中工作量,工作效率,工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题.
二、过程与方法
1.经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数的模型,进而解决问题的过程.
2.体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力.
三、情感态度与价值观
1.积极参与交流,并积极发表意见.
2.体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型.
难点
从实际问题中寻找变量之间的关系.关键是充分运用所学知识分析实际情况,建立函数模型,教学时注 意分析过程,渗透数形结合的思想.
教具准备
多媒体课件(课本例2“码头卸货”问题)
教学过程
一、创设问题情境,引入新课
活动1
某商场出售一批进价为 2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系:
x(元)3456
y(个)20151210
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x,y)的对应点;
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式,并画出图象;
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元,试求出w与x之间的函数关系式,若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润?
设计意图:
进一步展示现 实生活中两个变量之间的反比例函数关系,激发学生 学习数学的兴趣和强烈的求知欲.
师生行为:
学生亲自动手操作,并在小组内合作交流.
教师巡视学生小组讨论的结果.
在此活动中,教师应重点关注:
①学生动手操作的能力;
③学生数形结合的意识;
③学生数学建模的意识;
④学生能否大胆说出自己的见解,倾听别人的看法.
生:(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3,20),(4,15),(5,12),(6,10).
(2)由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支,设y=kx ,把点(3,20)代人y=kx ,得 k=60.



所以y=60x .
把点(4,15)(5,12)(6,10)代人上式均成立.
所以y与x的函数关系式为y=60x .
生:(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个,即 x≤10,根据y=60x 在第一象限y随x的增大而减小,所以
60y ≤10,y>1O,∴1Oy≥60,y≥6.
所以W=(x-2)y=(x-2)×60x =60-120x
当x=10时,W有最大值.
即当日销售单价x定为10元时,才能获得最大利润.
师:同学们的分析都很好,除了能用数学模 型刻画现实问题外,还能用数学知识解释生活中的问题.
下面我们再来看又一个生活中的问题.
二、讲授新课
活动2
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载宪毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?
设计意图:
进一步分析实际情境,建立函数模型,并进一步明确数学问题,将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时,还应充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想.
师生行为:
学生先独立思考,然后小组交流合作.
教师应鼓励学生运用数形结合,用多种方法来思考问题,充分利用好方程,不等式,函数三者之间的关系,在此活动中,教师应重点关注:
①学生能否自己建构函数模型,
②学生能否将函数,方程、不等式的知识联系起来;
③学生面对困难,有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志.
师:从题设中,我们不难发现:v和t之间的函数关系,实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系.根据卸货速度=货物的总量÷卸货时间,就可得到v和t的函数关系.但货物的总量题中并未直接告诉,如何求得.
生:中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间,根据装货速度×装货时间=货物的总量,可以求出轮船装载货物的总量,即货物的总量为30×8=240吨.
师:很好!下面同学们就来自己完成.
生:解 :(1)设轮船上的货物总量为k吨,则根据已知条件有:k=3×80=240.
所以v与t的函数式为
v=240t .
(2)由于遭到紧急情况,船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕,求平均每天至少卸多少吨货物?即当t≤5时,v至少为多少呢?
由v=240t 得t=240v ,
t≤5,所以240v ≤5,
又∵v>O,所以240≤5v
解得v≥48.
所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕,平均每天至少却4.8吨货物.
生:老师,我认为得出v与t的函数关系后,借助于图象也可以完成第(2)问.
画出v=240t 在第一象限内的图象(因为t>O).如下图.
当t=5时,代入v=240t ,得v=48
根据反比例函数的性质.v=240t 在第一象限,v随t的增大而减小.所以当0<t≤5时,v≥48.即若货物不超过5天内卸完,则平均每天至少要卸货48吨.
生:我认为还可以用方程来解.
把t=5代入v=240t ,得
v=2405 =48,
从结果可以看出,如果全部货物恰好5天卸完,则平均每天要卸货48吨.若货物在不超过5天内卸完,则平均每天至少要卸货48吨.
师:同学们的思维非常敏捷,竟想出这么多的办法来解决这个实际问题,太棒了!
我们不妨再来看一个题,肯定能做得更好!
三、巩固提寓
活动3
一辆汽车往返于甲、乙两地之间,如果汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可到达乙地.
(1)甲、乙两地相距多少千米?
(2)如果汽车把速度提高到v(千米/时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?
(3)写出t与v之间的函数关系式;
(4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时汽车的平均速度至少应是多少?
(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米/时,那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?
设计意图:
本题可以通过计算解决以上问题,也可以根据函数的图象对问题进行解释,通过两种方法的比较,可以加深对这类问题的理解.
师生行为:
先由学生独立完成,后在小组内讨论交流.
教师可巡视,对“学围生”以适当的帮助.
解 :(1)50×6=300(千米);
(2)t将减小;
(3)t=300v ;
(4)由题意可知300v ≤5,
∴v≥60(千米/时);
(5)t=30080 =3.75小时
四、课时小结
本节课是继续用函数的观点处理实际问题,关键在于分析实际情境,建立函 数模型,并进一步明确数学问题,将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释这是什么? 可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力,在 解决问题时不仅要充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想,也要注意函数不等式、方程之间的联系.
板书设计

活动与探究
某单位花50万元买回一台高科技设备,根据对这种型号设备的跟踪调查显示,该设备投入使用后,若将养护和维修的费用均摊到每一天,则有结论:第x天应付的养护与维修费为[14 (x-1)+500]元.
(1)如果将该设备从开始投入使用 到报废共付的养护与维修费及购实该设备费用的和均摊到每一天,叫做每天的平均损耗.请你将每天的平均损耗y(元)表示为使用天数x(天)的函数.
(2)按照此行业的技术和安全管理要求,当此设备的平均损耗达到最小值时,就应当报废,问该设备投入使用多少天应当报废?
注:在解本题时可能要用到以下两个数学知识点(如果需要可以直接引用下述结论).
A. 对于任意正整数n,下列等式 一定成立
l+2+3+4+……+n=n(n+1)2 ;
B.对于确定的正常数a,b以及在正实数范围内取值的变量x,一定有ax+xb≥
2axxb=2ab成立.可以看出,2是ab一个常数,也就是说函数y=ax+xb有最小值2ab,而且当ax=xb时,y取得最小值.
解:(1)设该设备投入使用x天,每天的平均损耗为:


(2)y=500000x+x8+49978≥2×500000x?x8+49978=99978
当且仅当50000x=x8 ,即x=2000时,取等号.

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