一、（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑
1．（3分）（2013?珠海）实数4的算术平方根是（ ）
A．?2B．2C．±2 D．±4
2．（3分）（2013?珠海）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
3．（3分）（2013?珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（ ）
A．（3，?2）B．（?3，2）C．（?3，?2）D．（2，?3）
4．（3分）（2013?珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2?2x?3=0．下列说法正确的是（ ）
A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解
5．（3分）（2013?珠海 ）如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）
A．36°B．46°C．27°D．63°
二、题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将行李各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
6．（4分）（2013?珠海）使式子 有意义的x的取值范围是 _________ ．
7．（4分）（2013?珠海）已知，函数y=3x的图象经过点A（?1，y1），点B（?2，y2），则y1 _________ y2（填“＞”“＜”或“=”）
8．（4分）（2013?珠海）若圆锥的母线长为5cm，地面半径为3cm，则它的测面展开图的面积为 _________ cm2（结果保留π）
9．（4分）（2013?珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2= _________ ．
10．（4分）（2013?珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是 _________ ．
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30 分）
11．（6分）（2013?珠海）计算： ?（ ）0+
12．（6分）（2013?珠海）解方程： ．
13．（6分）（2013?珠海）某初中学校对全校学生进行一次“勤洗手”的问卷调查，学校七、八、九三个年级学生人数分别为600人、700人、600人，经过数据整理将全校的“勤洗手”调查数据绘制成统计图．
（1）根据统计图，计算八年级“勤洗手”学生人数，并补全下列两幅统计图．
（2）通过计算说明那个年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大？
14．（6分）（2013?珠海）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求证：BC=DC．
15．（6分）（2013?珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2014年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年?2014年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
四、解答题（二））（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2013?珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值： ）
17．（7分）（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
18．（7分）（2013?珠海）把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把分别标有数字 、 、 、 、 的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有 的小球上的数字变为 _________ 时（填写所有结果），（1）中的概率为 ．
19．（7分）（2013?珠海）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y= 的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．
（1）求点M的坐标；
（2）求直线AB的解析式．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2013?珠海）下面材料，并解答问题．
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为?x2+1，可设?x4?x2+3=（?x2+1）（x2+a）+b
则?x4?x2+3=（?x2+1）（x2+a）+b=?x4?ax2+x2+a+b=?x4?（a?1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1
∴ = =x2+2+
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式 的和．
解答：
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明 的最小值为8．
21．（9分）（2013?珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当 ，BP′=5 时，求线段AB的长．
22．（9分）（2013?珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（?1，?1?m）．
（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．
2013年广东省珠海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑
1．（3分）（2013?珠海）实数4的算术平方根是（ ）
A．?2B．2C．±2D．±4
考点：算术平方根．
分析：根据算术平方根的定义解答即可．
解答： 解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，
即 =2．
故选B．
点评：本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）（2013?珠海）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
考点：平行线的性质．
分析：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．
解答：解：∵a∥b，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠3=60°．
故选C．
点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（3分）（2013?珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（ ）
A．（3，?2）B．（?3，2）C．（?3，?2）D．（2，?3）
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
解答：解：点（3，2）关于x轴的对称点为（3，?2），
故选：A．[来源:学科网]
点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．（3分）（2013?珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2?2x?3=0．下列说法正确的是（ ）
A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解
考点：根的判别式．
分析：求出①、②的判别式，根据：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
即可得出答案．
解答：解：方程①的判别式△=4?12=?8，则①没有实数解；
方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解．
故选B．
点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握跟的判别式与方程根的关系．
5．（3分）（2013?珠海）如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）x k b 1 . c o m
A．36°B．46°C．27°D．63°
考点：圆周角定理；平行四边形的性质．
分析：根据BE是直径可得∠BAE=90°，然后在?ABCD中∠ADC=54°，可得∠B=54°，继而可求得∠AEB的度数．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，
∴∠B=∠ADC=54°，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°?∠B=90°?54°=36°．
故选A．
点评：本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行四边形的性质得出∠B=∠ADC．
二、题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将行李各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
6．（4分）（2013?珠海）使式子 有意义的x的取值范围是 x≥? ．
考点：二次根式有意义的条件．
分析：二次根式的被开方数是非负数．
解答：解：根据题意，得
2x+1≥0，
解得，x≥? ．
故答案是：x≥? ．
点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．（4分）（2013?珠海）已知，函数y=3x的图象经过点A（?1，y1），点B（?2，y2），则y1 ＞ y2（填“＞”“＜”或“=”）
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
分析：分别把点A（?1，y1），点B（?2，y2）代入函数y=3x，求出点y1，y2的值，并比较出其大小即可．
解答：解：∵点A（?1，y1），点B（?2，y2）是函数y=3x上的点，
∴y1=?3，y2=?6，
∵?3＞?6，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
8．（4分）（2013?珠海）若圆锥的母线长为5cm，地面半径为3cm，则它的测面展开图的面积为 15π cm2（结果保留π）
考点：圆锥的计算．
专题：．
分析：先计算出圆锥底面圆的周长2π×3，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．
解答：解：圆锥的测面展开图的面积= ×2π×3×5=15π（cm2）．
故答案为15π．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
9．（4分）（2013?珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2= 5 ．
考点：完全平方公式．
专题：．
分析：将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入计算，即可求出所求式子的值．
解答：解：将a+b=3两边平方得：（a+b）2=a2+2ab+b2=9，
把ab=2代入得：a2+4+b2=9，
则a2+b2=5．
故答案为：5．
点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（4分）（2013?珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是 ．
考点：中点四边形．
专题：规律型．
分析：根据题意，利 用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A6B6C6D6 的周长．
解答：解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即 ，则周长是原来的 ；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即 ，则周长是原 来的 ；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即 ，则周长是原来的 ；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半 ，则周长是原来的 ；
…
以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的 ，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴周长为4，
∴第六个正方形A6B6C6D6周长是 ．
故答案为： ．
点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（6分）（2013?珠海）计算： ?（ ）0+
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题：计算题．
分析：根据零指数幂与负整数指数幂得到原式=3?1+ ? ，然后化为同分母后进行加减运算．
解答：解：原式=3?1+ ?
= ．
点评：本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了零指数幂与负整数指数幂．
12．（6分）（2013?珠海）解方程： ．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：x（x+2）?1=x2?4，
去括号得：x2+2x?1=x2?4，
解得：x=? ，
经检验x=? 是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13．（6分）（2013?珠海）某初中学校对全校学生进行一次“勤洗手”的问卷调查，学校七、八、九三个年级学生人数分别为600人、700人、600人，经过数据整理将全校的“勤洗手”调查数据绘制成统计图．
（1）根据统计图，计算八年级“勤洗手”学生人数，并补全下列两幅统计图．
（2）通过计算说明那个年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大？
考点：条形统计图；扇形统计图．
分析：（1）由七年级“勤洗手”的人数除以所占的百分比，求出全校“勤洗手”的人数，进而求出八年级“勤洗手”的人数，补全条形统计图；求出九年级“勤洗手”人数所占的百分比，补全扇形统计图即可；
（2）求出三个年级“勤洗手”人数所占的百分比，比较大小即可．
解答：解：（1）根据题意得：300÷25%=1200（人），
则八年级“勤洗手”人数为1200×35%=420（人），
（2）七年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=50%；
八年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=60%；
九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=80%，
则九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大．
点评：此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
14．（6分）（2013?珠海）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求证：BC=DC．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
解答：证明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，
即∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴BC=DC．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，求出相等的角∠ACB=∠ECD是解题的关键，也是本题的难点．
15．（6分）（2013?珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2014年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年?2014年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
考点：一元二次方程的应用．
专题：增长率问题．
分析：解答此题利用的数量关系是：2010年平均每次捕鱼量×（1?每次降价的百分率）2=2014年平均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可．
解答：解：设2010年?2014年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率x，根据题意列方程得，
10×（1?x）2=8.1，
解得x1=0.1，x2=?1.9（不合题意，舍去）．
答：2010年?2014年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为 10%．
点评：本题考查的下降的百分率也就是增长率问题，两年前是10吨，下降后现在是8.1吨，求每年的下降的百分率，可列式求解．
四、解答题（二））（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（7分）（2013?珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值： ）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC中，利用三角函数即可求解．
解答：解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC?∠B=60°?30°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=62（米）．
在直角△ACD中，AC=AD?sin∠ADC=62× =31 ≈31×1.7=52.7≈53（米）．
答：小岛的高度是53米．
点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
17．（7分）（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
考点：切线的判定与性质；菱形的性质．
分析：（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，
由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．
解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，
∵AB与⊙切于A点，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，
在△ABC和△CBO中
，
∴△ABC≌△CBO，
∴∠BOC=∠OAC=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
（2）解：∵△ABC≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，CB=CD，
∴点O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
而CB=CD，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．
18．（7分）（2013?珠海）把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把 分别标有数字 、 、 、 、 的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有 的小球上的数字变为 、 、 、 时（填写所有结果），（1）中的概率为 ．
考点：列表法与树状图法．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个小球上的数字互为倒数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由概率为 ，可得这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，继而可求得答案．
解答：解：（1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有4种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ；
（2）∵当B袋中标有 的小球上的数字变为 、 、 、 时（填写所有结果），
∴这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ．
故答案为： 、 、 、 ．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（7分）（2013?珠海）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y= 的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．
（1）求点M的坐标；
（2）求直线AB的解析式．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题．
分析：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，根据M为AB的中点，MC∥OB，MD∥OA，利用平行线分线段成比例得到点C和点D分别为OA与OB的中点，从而得到MC=MD，设出点M的坐标代入反比例函数解析式中，求出a的值即可得到点M的坐标；
（2）根据（1）中求出的点M的坐标得到MC与MD的长，从而求出OA与OB的长，得到点A与点B的坐标，设出一次函数的解析式，把点A与点B的坐标分别代入解析式中求出k与b的值，确定出直线AB的表达式．
解答：解：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∵AM=BM，
∴点M为AB的中点，
∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴点C和点D分别为OA与OB的中点，
∴MC=MD，
则点M的坐标可以表示为（?a，a），
把M（?a，a）代入函数y= 中，
解得a=2 ，
则点M的坐标为（?2 ，2 ）；
（2）∵则点M的坐标为（?2 ，2 ），
∴MC=2 ，MD=2 ，
∴OA=OB=2MC=4 ，
∴A（?4 ，0），B（0，4 ），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（?4 ，0）和B（0，4 ）分别代入y=kx+b中得 ，
解得： ．
则直线AB的解析式为y=x+4 ．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例，以及中位线定理，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学 们要熟练掌握这种方法．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2013?珠海）下面材料，并解答问题．
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为?x2+1，可设?x4?x2+3=（?x2+1）（x2+a）+b
则?x4?x2+3=（?x2+1）（x2+a）+b=?x4?ax2+x2+a+b=?x4?（a?1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1
∴ = =x2+2+
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式 的和．
解答：
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明 的最小值为8．
考点：分式的混合运算．
专题：xkb1阅读型．
分析：（1）由分母为?x2+1，可设?x4?6x2+8=（?x2+1）（x2+a）+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）对于x2+7+ 当x=0时，这两个式 子的和有最小值，最小值为8，于是求出 的最小值．
解答：解：（1）由分母为? x2+1，可设?x4?6x2+8=（?x2+1）（x2+a）+b
则?x4?6x2+8=（?x2+1）（x2+a）+b=?x4?ax2+x2+a+b=?x4?（a?1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，
∴ ，
∴a=7，b=1，
∴ = = =x2+7+
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+7与一个分式 的和．
（2）由 =x2+7+ 知，
对于x2+7+ 当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，
即 的最小值为8．
点评：本题主要考查分式的混合运算等知识点，解答本题的关键是能熟练的理解题意，此题难度不是很大．
21．（9分）（2013?珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当 ，BP′=5 时，求线段AB的长．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题．
分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；
（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A= AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中， ，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵ = ，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E= =4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴ = ，
即 = ，
解得P′A= AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+ AB2=（5 ）2，
解得AB=10．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A= AB是解题的关键．
22．（9分）（2013?珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正 半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（?1，?1?m）．
（1）求抛物线l的 解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线O D折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析 ：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m?x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，?3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可；
（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解．
解答：解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，
将A（0，m），D（2m，m），M（?1，?1?m）三点的坐标代入，
得 ，解得 ，
所以抛物线l的解析式为y=?x2+2mx+m；
（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOM，
∴∠A′DO=∠DOM，
∴DM=OM．
设DM=OM=x，则A′M=2m?x，
在Rt△OA′M中，∵OA′2+A′M2=OM2，
∴m2+（2m?x）2=x2，
解得x= m．
∵S△OA′M= OM?A′N= OA′?A′M，
∴A′N= = m，
∴ON= = m，
∴A′点坐标为（ m，? m），
易求直线OA′的解析式为y=? x，
当x=4m时，y=? ×4m=?3m，
∴E点坐标为（4m，?3m）．
当x=4m时，?x2+2mx+m=?（4m）2+2m?4m+m=?8m2+m，
即抛物线l与直线CE的交点为（4m，?8m2+m），
∵抛物线l与线段CE相交，
∴?3m≤?8m2+m≤0，
∵m＞0，
∴?3≤?8m+1≤0，
解得 ≤m≤ ；
（3）∵y=?x2+2mx+m=?（x?m）2+m2+m， ≤m≤ ，
∴当x=m时，y有最大值m2+m，
又∵m2+m=（m+ ）2? ，
∴当 ≤m≤ 时，m2+m随m的增大而增大，
∴当m= 时，顶点P到达最高位置，m2+m=（ ）2+ = ，
故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（ ， ）．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定难度．（2）中求出A′点的坐标是解题的关键．
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