九年级数学竞赛圆与圆辅导教案

编辑: 逍遥路 关键词: 九年级 来源: 高中学习网

【例题求解】
【例1】 如图,⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A,⊙Ol经过圆心O2,作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D,EF 为过点A的公切线,若O2D= ,那么∠BAF= 度.
(重庆市中考题)
思路点拨 直径、公切线、O2的特殊位置等,隐含丰富的信息,而连O2Ol必过A点,先求出∠D O2A的度数.
注:(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时,又是生成圆幂定理的重要因素.
(2)涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线,结合切线性质等构造直角三角形,将分散的条件集中,通过解直角三角形求解.
【例2】 如图,⊙Ol与⊙O2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙ O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则⊙Ol 与⊙O2的半径之比为( )
A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的 度数,为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系.
【例3】 如图,已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,P是⊙Ol上一点,PB的延长线交⊙O2于点C,PA交⊙O2于点D,CD的延 长线交⊙Ol于点N.
(1)过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E,求证:PA=PE;
(2)连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长.
(重庆市中考题)
思路点拨 (1)连AB,充分运用与圆相关的角,证明∠PAE=∠PEA;(2)PB?PC=PD?PA,探寻PN、PD、PA对应三角形的联系.

【例4】 如图,两个同心圆的圆心是O,AB是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点D,连结OD并延长交大圆于点E,连结BE交AC于点F,已知AC= ,大、小两圆半径差为2.
(1)求大圆半径长;
(2)求线段BF的长;
(3)求证:EC与过B、F、C三点的圆相切.
(宜宾市中考题)
思路点拨 (1)设大圆半径为R,则小圆半径为R-2,建立R的方程;(2)证明△EBC∽△ECF;(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′,必在BF上,连O?C,证明∠O′CE=90°.


注:本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键.

【例5】 如图,AOB是半径为1的单位圆的四分之一,半圆O1的圆心O1在OA上,并与弧AB内切于点A,半圆O2的圆心O2在OB上,并与弧AB内切于点B,半圆O1与半圆O2相切,设两半圆的半径之和为 ,面积之和为 .
(1)试建立以 为自变量的函数 的解析式;
(2)求函数 的最小值.
(太原市竞赛题)
思路点拨 设两圆半径分别为R、r,对于(1), ,通过变形把R2+r2用“ =R+r”的代数式表示,作出基本辅助线;对于(2),因 =R+r,故是在约束条件下求 的最小值,解题的关键是求出R+r的取值范围.



注:如图,半径分别为r、R的⊙Ol 、⊙O2外切于C,AB,CM分别为两圆的公切线,OlO2与AB交于P点,则:
(1)AB=2 ;
(2) ∠A CB=∠Ol M O2=90°;
(3)PC2=PA?PB;
(4)sinP= ;
(5)设C到AB的距离为d,则 .

学力训练
1.已知:⊙Ol和⊙O2交于A、B两点,且⊙Ol经过点O2,若∠AOlB=90°,则∠A O2B的度数是 .
2.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围 .
(2003年上海市中考题)
3.如图;⊙Ol 、⊙O2相交于点A、B,现给出4个命题:
(1)若AC是⊙O2的切线且交⊙Ol于点C,AD是⊙Ol的切线且交⊙O2于点D,则AB2=BC?BD;
(2)连结AB、OlO2,若OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,则OlO2=25cm;
(3)若CA是⊙Ol的直径,DA是⊙O2 的一条非直径的弦,且点D、B不重合,则C、B、D三点不在同一条直线上,
(4)若过点A作⊙Ol的切线交⊙O2于点D,直线DB交⊙O l于点C,直线CA 交⊙O2于点E,连结DE,则DE2=DB?DC,则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) .
(厦门市中考题)
4.如图,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M,设⊙Ol的半径为 ,AM的长为 ,则 与 的函数关系是 ,自变量 的取值范围是 .
(昆明市中考题)


5.如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离是( )
A.2 B. C. D.
6.如图,已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B两点,且点Ol在⊙O2上,过A作⊙Oll的切线AC交B Ol的延长线于点P,交⊙O2于点C,BP交⊙Ol于点D,若PD=1,PA= ,则AC的长为( )
A. B. C. D.
(武汉市中考题)


7.如图,⊙Ol和⊙O2外切于A,PA是内公切线,BC是外公切线,B、C是切点①PB=AB;②∠PBA=∠PAB;③△PAB∽△OlAB;④PB?PC=OlA?O2A.
上述结论,正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(郴州市中考题)
8.两圆的半径分别是和r (R>r),圆心距为d,若关于 的方程 有两个相等的实数根,则两圆的位置关系是( )
A.一定内切 B.一定外切 C.相交 D.内切或外切
(连云港市中考题)


9.如图,⊙Ol和⊙O2内切于点P,过点P的直线交⊙Ol于点D,交⊙O2于点E,DA与⊙O2相切,切点为C.
(1)求证:PC平分∠APD;
(2)求证:PD?PA=PC2+AC?DC;
(3)若PE=3,PA=6,求PC的长.


10.如图,已知⊙Ol和⊙O2外切于A,BC是⊙Ol和⊙O2的公切线,切点为B、C,连结BA并延长交⊙Ol于D,过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F,求证:(1)CD是⊙Ol的直径;(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论.
(四川省中考题)

11.如图,已知A是⊙Ol、⊙O2的一个交点,点M是 OlO2的中点,过点A的直线B C垂直于MA,分别交⊙Ol、⊙O2于B、C.
(1)求证:AB=AC;
(2)若Ol A切⊙O2于点A,弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2,求证:dl+d2=O1O2;
(3)在(2)的条件下,若dld2=1,设⊙Ol、⊙O2的半径分别为R、r,求证:R2+r2= R2r2.
(山西省中考题)

12.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为 .
(全国初中数学联赛试题)


13.如图,7根圆形筷子的横截面圆半径为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为 .
(全国初中数学联赛试题)
14.如图,⊙Ol和⊙O2内切于点P,⊙O2的弦AB经过⊙Ol的圆心Ol,交⊙Ol于C、D,若AC:CD:DB=3:4:2,则⊙Ol与⊙O2的直径之比为( )
A.2:7 B.2:5 C.2:3 D. 1:3
15.如图,⊙Ol与⊙O2相交,P是⊙Ol上的一点,过P点作两圆的切线,则切线的条数可能是( )
A .1,2 B.1,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4
(安徽省中考题)


16.如图,相等两圆交于A、B两点,过B任作一直线交两圆于M、N,过M、N各引所在圆的切线相交于C,则四边形AMCN有下面关系成立( )
A.有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆
C.既有内切圆,也有外接圆 D.以上情况都不对
(太原市竞赛题)
17.已知:如图,⊙O与相交于A,B两点,点P在⊙O上,⊙O的弦AC切⊙P于点A,CP及其延长线交⊙P P于点D,E,过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F.
(1)求证:BC是⊙P的切线;
(2)若CD=2,CB= ,求EF的长;
(3)若k=PE:CE,是否存在实数k,使△PBD恰好是等边三角形?若存在,求出是的值;若不存在,请说明理由.
(青岛市中考题)


18.如图,⊙A和⊙B是外离两圆,⊙A的半径长为2,⊙B的半径长为1,AB=4,P为连接两圆圆心的线段AB上的一点,PC切⊙A于点C,PD切⊙B于点D.
(1)若PC=PD,求PB的长;
(2)试问线段AB上是否存在一点P,使PC2+PD2=4?,如果存在,问这样的P点有几个?并求出PB的值;如果不存在,说明理由;
(3)当点F在线段AB上运动到某处,使PC⊥PD时,就有△APC∽△PBD.
请问:除上述情况外,当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少,或PC、PD具有 何种关系)时,这两个三角形仍相似;并判断此时直线CP与OB的位置关系,证明你的结论. (浙江省嘉兴市中考题)
19.如图,D、E是△ABC边BC上的两点,F是 BA延长线上一点,∠DAE=∠CAF.
(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论;
(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍, BC=6,AB=4,求BE的长.
(全国初中 数学联赛试题)


20.问题:要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面.

操作:方案一:在图甲中,设计一个使圆锥底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求,画示意图) .
方案二;在图乙中,设计一个使圆柱两个底面最大,半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求:画示意图); ,
探究:(1)求方案一中圆锥底面的半径;
(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径;
(3)设方案二中半圆圆心为O,圆柱两个底面的圆心为O1、O2,圆锥底面的圆心为O3,试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形,并加以证明.
(大连市中考题)

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