一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线的准线方程是 ( )（A） （B） （C） （D）（3）在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（ ）（A） （B）（C） （D） （4）已知直线，平面.则“”是“直线，”的 （ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（6）已知命题椭圆的离心率，命题与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ）（A）是真命题 （B）是真命题 （C）是真命题 （D）是假命题（8）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．则下列命题中假命题是 （ ）（A）存在点，使得//平面（B）存在点，使得平面（C）对于任意的点，平面平面（D）对于任意的点，四棱锥的体积均不变【答案】B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知，.若，则 . 【答案】【解析】试题分析：因为，所以，解得。考点：两空间向量垂直的数量积公式。（10）过点且与圆相切的直线方程是 . （11）已知抛物线：，为坐标原点，为的焦点，是上一点. 若是等腰三角形，则 . 【答案】或【解析】试题分析：由抛物线方程可知，则。设点坐标为，当时，由抛物线的定义可知，则，此时点与原点重合故舍。当时，。当时，由抛物线的定义可知，所以，解得。所以。综上可得或。考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的焦点坐标。（12）已知点是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . 【答案】【解析】（13）如图所示，已知点是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是 . 【答案】【解析】（14）曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线过坐标原点；②曲线关于轴对称；③曲线与轴有个交点；④若点在曲线上，则的最小值为.其中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共10分）在平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的正射影为点，且满足直线.（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）当时，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）或【解析】试题分析：（Ⅰ）属直接法求轨迹问题，再根据列式子时，可根据直线垂直斜率相乘等于列出方程，但需注意斜率存在与否的问题，还可转化为向量垂直问题，用数量积为0列出方程（因此法不用讨论故常选此法解决直线垂直问题）。因点不能与原点重合故。（Ⅱ）即直线的倾斜角为或。故可求出直线的斜率，由点斜式可求直线的方程。试题解析：解：（Ⅰ）设，则，，.……………………2分因为 直线，所以 ，即. ………………………4分所以 动点的轨迹C的方程为（）. ………………………5分（Ⅱ）当时，因为 ，所以 .所以 直线的倾斜角为或. 当直线的倾斜角为时，直线的方程为； ……………8分当直线的倾斜角为时，直线的方程为. …………10分考点：1、求轨迹方程；2、直线方程的点斜式。(16) （本小题共11分）已知椭圆：，直线交椭圆于两点.（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及长轴长；（Ⅱ）求以线段为直径的圆的方程. 【答案】（Ⅰ）焦点坐标，，长轴长；（Ⅱ）【解析】（Ⅱ）由可得:.解得：或. (17) （本小题共11分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，试题解析：（Ⅰ）证明：在正方形中，.因为，， 所以 ． 所以 二面角的余弦值为． ………………………8分（Ⅲ）存在．理由如下： 若棱上存在点满足条件，设，． 所以 ．…………………9分 因为 平面的一个法向量为． 所以 ． 令 解得： . 经检验． 所以 棱上存在点，使直线与平面所成的角是，此时的长为． ………………………11分考点：1、线线垂直、线面垂直；2、二面角；3、空间向量法解立体几何。(18) （本小题共12分）已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，，，，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）因为和关于原点对称，由椭圆的对称性可知和在椭圆上。因为在椭圆上则和不在椭圆上。所以在椭圆上。所以.于是，此时，所以 直线.所以 线段与轴相交于.显然原点在线段上，即原点在的内部，不符合题设.综上所述，所求的面积的最大值为. ……………………12分考点：1、椭圆的对称性和方程；2、直线和椭圆的位置关系问题；3、三角形面积的求法。 www.gkstk.com 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源www.gkstk.com【解析版】北京市海淀区2013-2014学年高二上学期期末试题（数学 理）
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