第三章 导数及其应用
3．1　变化率与导数
3．1．1　变化率问题

双基达标　（限时20分钟）
1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx中，Δx不可能是(　　)．
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案　C
2．如果质点按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是(　　)．
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
解析　 ＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.
答案　B
3．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　)．
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
解析　ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝
（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1）Δx＝Δx＋3.
答案　C
4．已知函数y＝2＋1x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________．
解析　Δy＝2＋12－(2＋1)＝－12.
答案　－12
5．一个作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体在t＝0到t＝2之间的平均速度为________．
解析　物体在t＝0到t＝2之间的平均速度为（3×2－22）－02－0＝1.
答案　1
6．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率；
(1)[－3，－1]；(2)[0，5]．
解　(1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
f（－1）－f（－3）（－1）－（－3）＝[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]2＝2，
g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
g（－1）－g（－3）（－1）－（－3）＝[－2×（－1）]－[－2×（－3）]2＝－2.
(2)函数f(x)在区间[0，5]上的平均变化率为
f（5）－f（0）5－0＝（2×5＋1）－（2×0＋1）5＝2，
g(x)在区间[0，5]上的平均变化率为
g（5）－g（0）5－0＝－2×5－（－2×0）5＝－2.
综合提高　（限时25分钟）
7．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于(　　)．
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析　ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝2（1＋Δx）2－2Δx＝4＋2Δx.
答案　C
8．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为
(　　)．
A．2Δt＋4 B．－2Δt－4
C．4 D．－2Δt2－4Δt
解析　 ＝4－2（1＋Δt）2－（4－2×12）Δt＝－4Δt－2（Δt）2Δt＝－2Δt－4.
答案　B
9．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．
解析　当r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为ΔSΔr＝π（1＋Δr）2－πΔr＝π＋2π•Δr＋（Δr）2π－πΔr＝2π＋πΔr.
答案　2π＋πΔr
10．国家环保局在规定的排污达标的日期前，
对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果
如图所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)________．
解析　ΔWΔt＝W（t1）－W（t2）Δt，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．
答案　甲企业
11．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
解　由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：
L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为：L＝L（20）－L（10）20－10＝87010＝87(元)．
12．(创新拓展)婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，
试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．
解　第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；
第二年婴儿体重平均变化率为
14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．

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