2015届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. ?复数（其中i是虚数单位）的虚部为 ．?某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天?函数的值域为 ．? 分别在集合{1，2，3，4}和集合{5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．?在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为 . 6． 如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取值范围是 ．?函数y =的图象可由函数y = sin?x的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y = sin?x的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．A. 图象上所有点向右平移个单位；B. 图象上所有点向右平移个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. ?记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数和的定义域都是R，则“和都是偶函数”是“函数为偶函数”的 条件．? 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：关于直线l：对称的圆C2的方程为 ．，②，③．x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是 ．?设，且，则的值为 ． 12. ?设平面向量a，b满足，则a?b的最小值为 ．?在平面直角坐标系xOy中，曲线上的点到原点O的最短距离为 ．?设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．，b，其中．，求的值；（2）设向量c，且a + b = c，求的值．16．如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC平面ABC，，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且．求证：（1）平面PBC；（2）平面DEF平面PAC．17．如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东的方向，且在港口A北偏西的方向上．的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．．．的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项． 19.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上?的点到右焦点的距离的最小值为．．．，其图象在点处切线的斜率为．的单调区间（用只含有的式子表示）；（2）当时，令，设，是函数的两个根，是，的等差中项，求证：（为函数的导函数）． 2. 72 3. 4. 5. 2 6. 7. BD（DA） 8. 充分不必要 9. 10. 11. 12. 513. 14. 1515.【解】（1）因为a，b，所以． ……2分因为，所以a?b = 0．……………………………4分于是，故． …………6分（2）因为a + b ，所以…………………………8分 由此得，由，得，又，故． ………………………………10分代入，得．…………………12分而，所以．…………………14分16. 【证】（1）在△PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF // PC．………2分又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．………………5分（2）连结CD．因为，，所以△ACD为正三角形．因为F是AC的中点，所以．…………………7分因为平面PAC?平面ABC，平面ABC，平面PAC?平面ABC，所以平面PAC．?……………………11分因为平面DEF，所以平面DEF平面PAC．…………………………14分17.【解】（1）由题意知，在△OAB中， OA=120，．，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．．．，而在△OCB中，，………………………9分由余弦定理，得，即，亦即，解得或（舍去）．即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分18.【解】（1）因为是等差数列，且，而，于是．…2分 设的公差为d，则由得， 化简得，即，解得或， 但若，由知不满足“数列的各项均为整数”，故．………5分 于是．……………………………………………………7分（2）因为，， ……10分所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是在中取值，但由于是3的倍数，所以或．由得；由得． …………………………………………13分当时，；当时，．所以所求m的值为3和4．…………………………………………………………16分另解：因为 ，所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是只能取1或．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e．．，则，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以．所以椭圆方程为．到直线的距离为h，则由题设及面积公式知．的斜率不存在或斜率为时，或于是．的斜率存在且不为时，则，解得 同理………………………………………9分在Rt△OAB中，，则 ，所以．到直线的距离为定值．，所以．的最小值即求的最小值．， 令，则，于是， …………………14分 因为，所以， 当且仅当，即，取得最小值，因而 所以的最小值为．的定义域为．，则，即．．①当时，，在上是单调减函数；?②当时，令，得（负舍）， 所以在上是单调减函数，在上是单调增函数； ③当时，若，则恒成立，在上单调减函数； 若，令，得（负舍）， 所以在上单调增函数，在上单调减函数； 综上，若，的单调减区间为，单调增区间为； 若，的单调减区间为；若，的单调增区间为，单调减区间为．，所以，即．的两零点为，，则相减得：， 因为 ，所以， 于是 ．，， 则，则在上单调递减， 则，又，则．．附加题：21A. 如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C．．．．．△CDO，从而AB = CO，即2OB = OB + BC，得OB = BC．．21B. 已知矩阵A的逆矩阵A，求矩阵A的特征值．【】因为AA=E，所以A =(A)．因为A，所以A =(A)．于是矩阵A的特征多项式为f (λ)= λ2－3λ－4，令f (λ) = 0，解得A的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．21C. 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（为参数）的左焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．，左焦点………………………………………3分 直线的普通方程：. …………………………………………………………6分 设过焦点且与直线平行的直线为 将代入， 所求直线的普通方程为．21D.?已知实数x，y满足： x + y ，，求证： y ．． x + y ，，． y ．．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取点，设随机变量ξ．（1）求概率；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ?)．正方体的8个顶点中任取点，种．，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有条．．的取值共有1，，三种情况．．．的分布列是1P()…………………………………………………………………8分因此． …………………………………………10分23．，F为其焦点，点E的坐标为(2，0)，设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交抛物线C与点P，Q．（1）当MN?Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：．【解】（1）抛物线C：的焦点F(1，0) ．当MN?Ox时，直线MN的方程为 ． 将代入抛物线方程，得．?不妨设，则直线ME的方程为，由解得或，于是得．同理得，所以直线的方程为．故直线PQ与x轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分?（2）设直线MN的方程为，?并设．由，于是①，从而②．设直线MP的方程为，由，所以③，④．同理⑤，⑥．由①②③④⑤⑥，得． 即．…………………………………………………………………………10分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 13 1 每天发布最有价值的6785 5 63 40 1开始结束输出SYNn
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