第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网


第十三 排列组合与概率

一、基础知识
1.加法原理:做一事有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.乘法原理:做一事,完成它需要分n个步骤,第1步有m1种不同的方法,第2步有m2种不同的方法,……,第n步有mn种不同的方法,那么完成这事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.排列与排列数:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 表示, =n(n-1)…(n-m+1)= ,其中m,n∈N,m≤n,
注:一般地 =1,0!=1, =n!。
4.N个不同元素的圆周排列数为 =(n-1)!。
5.组合与组合数:一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用 表示:

6.组合数的基本性质:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) 。
7.定理1:不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为 。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A,不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B,A的每个装法对应B的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,…,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数,i=1,2,…,n,便得到A的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将r个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个,将球分n份,共有 种。故定理得证。
推论1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为
推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合,其组合数为
8.二项式定理:若n∈N+,则(a+b)n= .其中第r+1项Tr+1= 叫二项式系数。
9.随机事:在一定条下可能发生也可能不发生的事叫随机事。在大量重复进行同一试验时,事A发生的频率 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事A发生的概率,记作p(A),0≤p(A)≤1.
10.等可能事的概率,如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事A包含的结果有m种,那么事A的概率为p(A)=
11.互斥事:不可能同时发生的两个事,叫做互斥事,也叫不相容事。如果事A1,A2,…,An彼此互斥,那么A1,A2,…,An中至少有一个发生的概率为
p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).
12.对立事:事A,B为互斥事,且必有一个发生,则A,B叫对立事,记A的对立事为 。由定义知p(A)+p( )=1.
13.相互独立事:事A(或B)是否发生对事B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事叫做相互独立事。
14.相互独立事同时发生的概率:两个相互独立事同时发生的概率,等于每个事发生的概率的积。即p(A•B)=p(A)•p(B).若事A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事同时发生的概率为p(A1•A2• … •An)=p(A1)•p(A2)• … •p(An).
15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事恰好发生k次的概率为pn(k)= •pk(1-p)n-k.
17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量,ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。
一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi,则称表
ξx1x2x3…xi…
pp1p2p3…pi…
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列,称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望,称Dξ=(x1-Eξ)2•p1+(x2-Eξ)2•p2+…+(xn-Eξ)2pn+…为ξ的均方差,简称方差。 叫随机变量ξ的标准差。
18.二项分布:如果在一次试验中某事发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,这个事恰好发生k次的概率为p(ξ=k)= , ξ的分布列为
ξ01…xi…N
p



此时称ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p).若ξ~B(n,p),则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.
19.几何分布:在独立重复试验中,某事第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量,若在一次试验中该事发生的概率为p,则p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…),ξ的分布服从几何分布,Eξ= ,Dξ= (q=1-p).
二、方法与例题
1.乘法原理。
例1 有2n个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?
[解] 将整个结对过程分n步,第一步,考虑其中任意一个人的配对者,有2n-1种选则;这一对结好后,再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者,有2n-3种选择,……这样一直进行下去,经n步恰好结n对,由乘法原理,不同的结对方式有
(2n-1)×(2n-3)×…×3×1=
2.加法原理。
例2 图13-1所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种?
[解] 断路共分4类:1)一个电阻断路,有1种可能,只能是R4;2)有2个电阻断路,有 -1=5种可能;3)3个电阻断路,有 =4种;4)有4个电阻断路,有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。
3.插空法。
例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈,要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱,有多少种不同的安排节目演出顺序的方式?
[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有 种排法,再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有 种方法,故共有 =604800种方式。
4.映射法。
例4 如果从1,2,…,14中,按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足:a2-a1≥3,a3-a2≥3,那么所有符合要求的不同取法有多少种?
[解] 设S={1,2,…,14}, ={1,2,…,10};T={(a1,a2,a3) a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3}, ={( )∈ },若 ,令 ,则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 到T的映射,它显然是单射,其次若(a1,a2,a3)∈T,令 ,则 ,从而此映射也是满射,因此是一一映射,所以T= =120,所以不同取法有120种。
5.贡献法。
例5 已知集合A={1,2,3,…,10},求A的所有非空子集的元素个数之和。
[解] 设所求的和为x,因为A的每个元素a,含a的A的子集有29个,所以a对x的贡献为29,又A=10。所以x=10×29.
[另解] A的k元子集共有 个,k=1,2,…,10,因此,A的子集的元素个数之和为 10×29。
6.容斥原理。
例6 由数字1,2,3组成n位数(n≥3),且在n位数中,1,2,3每一个至少出现1次,问:这样的n位数有多少个?
[解] 用I表示由1,2,3组成的n位数集合,则I=3n,用A1,A2,A3分别表示不含1,不含2,不含3的由1,2,3组成的n位数的集合,则A1=A2=A3=2n,A1 A2=A2 A3=A1 A3=1。A1 A2 A3=0。
所以由容斥原理A1 A2 A3= =3×2n-3.所以满足条的n位数有I-A1 A2 A3=3n-3×2n+3个。
7.递推方法。
例7 用1,2,3三个数字构造n位数,但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中,问:能构造出多少个这样的n位数?
[解] 设能构造an个符合要求的n位数,则a1=3,由乘法原理知a2=3×3-1=8.当n≥3时:1)如果n位数的第一个数字是2或3,那么这样的n位数有2an-1;2)如果n位数的第一个数字是1,那么第二位只能是2或3,这样的n位数有2an-2,所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).这里数列{an}的特征方程为x2=2x+2,它的两根为x1=1+ ,x2=1- ,故an=c1(1+ )n+ c2(1+ )n,由a1=3,a2=8得 ,所以
8.算两次。
例8 m,n,r∈N+,证明: ①
[证明] 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有 种;另一方面,从这n+m人中选出k位太太与r-k位先生的方法有 种,k=0,1,…,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有 种。综合两个方面,即得①式。
9.母函数。
例9 一副三色牌共有32张,红、黄、蓝各10张,编号为1,2,…,10,另有大、小王各一张,编号均为0。从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:每张编号为k的牌计为2k分,若它们的分值之和为2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。
[解] 对于n∈{1,2,…,2004},用an表示分值之和为n的牌组的数目,则an等于函数f(x)=(1+ )2•(1+ )3••••…•(1+ )3的展开式中xn的系数(约定x<1),由于f(x)= [ (1+ )(1+ )•…•(1+ )]3= 3 = 3。
而0≤2004<211,所以an等于 的展开式中xn的系数,又由于 = • =(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展开式中的系数为a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,从而,所求的“好牌”组的个数为a2004=10032=1006009.
10.组合数 的性质。
例10 证明: 是奇数(k≥1).
[证明] = 令i= •pi(1≤i≤k),pi为奇数,则 ,它的分子、分母均为奇数,因 是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。
例11 对n≥2,证明:
[证明] 1)当n=2时,22< =6<42;2)假设n=k时,有2k< <4k,当n=k+1时,因为
又 <4,所以2k+1< .
所以结论对一切n≥2成立。
11.二项式定理的应用。
例12 若n∈N, n≥2,求证:
[证明] 首先 其次因为 ,所以 2+ 得证。
例13 证明:
[证明] 首先,对于每个确定的k,等式左边的每一项都是两个组合数的乘积,其中 是(1+x)n-k的展开式中xm-h的系数。 是(1+y)k的展开式中yk的系数。从而 • 就是(1+x)n-k•(1+y)k的展开式中xm-hyh的系数。
于是, 就是 展开式中xm-hyh的系数。
另一方面, = = • = (xk-1+xk-2y+…+yk-1),上式中,xm-hyh项的系数恰为 。
所以
12.概率问题的解法。
例14 如果某批产品中有a次品和b正品,采用有放回的抽样方式从中抽取n产品,问:恰好有k是次品的概率是多少?
[解] 把k产品进行编号,有放回抽n次,把可能的重复排列作为基本事,总数为(a+b)n(即所有的可能结果)。设事A表示取出的n产品中恰好有k是次品,则事A所包含的基本事总数为 •akbn-k,故所求的概率为p(A)=
例15 将一枚硬币掷5次,正面朝上恰好一次的概率不为0,而且与正面朝上恰好两次的概率相同,求恰好三次正面朝上的概率。
[解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为p,则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为 (1-p)5-k(k=0,1,2,…,5),由题设 ,且0<p<1,化简得 ,所以恰好有3次正面朝上的概率为
例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能性大?
[解] (1)如果采用三局两胜制,则甲在下列两种情况下获胜:A1—2:0(甲净胜二局),A2—2:1(前二局甲一胜一负,第三局甲胜). p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= ×0.6×0.4×0.6=0.288.
因为A1与A2互斥,所以甲胜概率为p(A1+A2)=0.648.
(2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:B1—3:0(甲净胜3局),B2—3:1(前3局甲2胜1负,第四局甲胜),B3—3:2(前四局各胜2局,第五局甲胜)。因为B1,B2,B2互斥,所以甲胜概率为p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+ ×0.62×0.4×0.6+ ×0.62×0.42×0.6=0.68256.
由(1),(2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。
例17 有A,B两个口袋,A袋中有6张卡片,其中1张写有0,2张写有1,3张写有2;B袋中有7张卡片,其中4张写有0,1张写有1,2张写有2。从A袋中取出1张卡片,B袋中取2张卡片,共3张卡片。求:(1)取出3张卡片都写0的概率;(2)取出的3张卡片数字之积是4的概率;(3)取出的3张卡片数字之积的数学期望。
[解](1) ;(2) ;(3)记ξ为取出的3张卡片的数字之积,则ξ的分布为
ξ0248
p



所以
三、基础训练题
1.三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。
2.在正2006边形中,当所有边均不平行的对角线的条数为_________。
3.用1,2,3,…,9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。
4.10个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_________种分组方法。
5.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。
6.今天是星期二,再过101000天是星期_________。
7.由 展开式所得的x的多项式中,系数为有理数的共有_________项。
8.如果凸n边形(n≥4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。
9.袋中有a个黑球与b个白球,随机地每次从中取出一球(不放回),第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________。
10.一个箱子里有9张卡片,分别标号为1,2,…,9,从中任取2张,其中至少有一个为奇数的概率是_________。
11.某人拿着5把钥匙去开门,有2把能打开。他逐个试,试三次之内打开房门的概率是_________。
12.马路上有编号为1,2,3,…,10的十盏路灯,要将其中三盏关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条的关灯方法种数是_________。
13.a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐,若a,b不相邻有_________种安排方式。
14.已知i,m,n是正整数,且1<i≤m≤n。证明:(1) ;(2)(1+m)n>(1+n)m.
15.一项“过关游戏”规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n,则算过关。问:(1)某人在这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体)
四、高考水平训练题
1.若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数,则这种n有__________个。
2.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数,能组成过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。
3.四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中任取4个不共面的点,有_________种取法。
4.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经5次传球后,球仍回到甲手中的传法有_________种。
5.一条铁路原有m个车站(含起点,终点),新增加n个车站(n>1),客运车票相应地增加了58种,原有车站有_________个。
6.将二项式 的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。
7.从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数,共可得到_________种不同的对数值。
8.二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_________项,系数最小的项为第_________项。
9.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的5节,每节用红、黄、蓝三色之一涂色,可以有_________种颜色不同的圆棒?(颠倒后相同的算同一种)
10.在1,2,…,2006中随机选取3个数,能构成递增等差数列的概率是_________。
11.投掷一次骰子,出现点数1,2,3,…,6的概率均为 ,连续掷6次,出现的点数之和为35的概率为_________。
12.某列火车有n节旅客车厢,进站后站台上有m(m≥n)名旅客候车,每位旅客随意选择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。
13.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?(粮食单产= )
五、联赛一试水平训练题
1.若0<a<b<c<d<500,有_________个有序的四元数组(a,b,c,d)满足a+d=b+c且bc-ad=93.
2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是_________。
3.已知A={0,1,2,3,4,5,6,7},映射f:A→A满足:(1)若i≠j,则f(i)≠f(j);(2)若i+j=7,则f(i)+f(j)=7,这样的映射的个数为_________。
4.1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质:对于1≤i≤4,a1,a2,…,ai不构成1,2,…,i的某个排列,这种排列的个数是_________。
5.骰子的六个面标有1,2,…,6这六个数字,相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差,变差的总和叫全变差V,则全变差V的最大值为_________,最小值为_________。
6.某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行50场,上述三名选手之间比赛场数为_________。
7.如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d, d≠a;且a是a,b,c,d中的最小值,则不同的四位数 的个数为_________。
8.如果自然数a各位数字之和等于7,那么称a为“吉祥数”,将所有的吉祥数从小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2005,则an=_________。
9.求值: =_________。
10.投掷一次骰子,出现点数1,2,…,6的概率均为 ,连续掷10次,出现的点数之和是30的概率为_________。
11.将编号为1,2,…,9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球,设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S,求S达到最小值的放法的概率(注:如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合,则认为是相同的放法)。
12.甲、乙两人轮流向同一目标射击,第一次甲射击,以后轮流射击,甲每次击中的概率为p(0<p<1),乙每次击中的概率为q(0<q<1),求甲、乙首先击中的概率各是多少?
13.设m,n∈N,0<m≤n,求证: …+
六、联赛二试水平训练题
1.100张卡片上分别写有数字1到100,一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放入一张卡片。
一位观众从三个盒子中挑出两个,并从中各选取一张卡片,然后宣布这两张卡片上的两个数的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问:共有多少种放卡片的方法,使得这个魔术师总能够成功?(如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子,两种方法被认为是不同的)
2.设S={1,2,…,10},A1,A2,…,Ak是S的k个子集合,满足:(1)Ai=5,i=1,2,…,k;(2)Ai Aj≤2,1≤i<j≤k,求k的最大值。
3.求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条的k个数{j1,j2,…,jk}的组合数;(1)1≤j1<j2<…<jk≤n;(2)jh+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1,其中m>1为固定的正整数;(3)存在h0,1≤h0≤k-1,使得 ≥m+1.
4.设 ,其中S1,S2,…,Sm都是正整数且S1<S2<…<Sm,求证组合数 中奇数的个数等于2m。
5. 个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵,设k是从上往下第k行中的最大数,求1<2<…<n的概率。
6.证明:




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