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题：势能、机械能守恒
【学习目标】理解势能的概念，掌握机械能守恒定律。
【重点难点】机械能守恒定律的应用
【自主学习】教师评价：（等第）
1、重力势能：物体由于的能量，叫做重力势能。
表达式：EP=。单位：。符号：。
重力势能是(标、矢)量。选不同的，物体的重力势能的数值是不同的。
2、重力做正功时，重力势能，减少的重力势能等于，克服重力做功（重力做负功）时，重力势能，增加的重力势能等于克服重力做的功。
重力所做的功只跟初位置的高度和末位置的高度有关，跟物体运动的路径。
3、弹性势能：物体由于弹性形变而具有的与它的形变量有关的势能，叫弹性势能。物体的弹性形变量越大，弹性势能越。
4、机械能：和统称机械能，即E=。
5、机械能守恒定律：只有做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，机械能的总量，这就是机械能守恒定律。机械能守恒定律的表达式为。
在只有弹力做功情形下，物体的动能和弹性势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒。
自主测评：
1．（上海）．高台滑雪运动员腾空跃下，如果不考虑空气阻力，则下落过程中该运动员机械能的转换关系是（）。
A．动能减少，重力势能减少B．动能减少，重力势能增加
C．动能增加，重力势能减少D．动能增加，重力势能增加
2．（安徽）.伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点。如果在E或F处钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的点。这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面（或弧线）下滑时，其末速度的大小
A.只与斜面的倾角有关B.只与斜面的长度有关
C.只与下滑的高度有关D.只与物体的质量有关
3．如图，m1>m2，滑轮光滑且质量不计，在m1下降一段距离（不计空气阻力）的过程中，下列说法正确的是（）
A、m1的机械能守恒B、m2的机械能守恒
C、m1和m2的总机械能减少D、m1和m2的总机械能守恒
4、如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中（）
A、重力先做正功，后做负功B、弹力没有做正功
C、金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡
D、金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大
5(07上海)在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示的形状，相应的曲线方程为 (单位:米),式中k=1m-1。将一光滑小环套在该金属杆上，并从x＝0处以v0＝5m/s的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g＝10m/s2。则当小环运动到x＝ m时的速度大小v＝m/s；该小环在x轴方向最远能运动到x＝m处。
6（00上海).如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相
垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是。
A．A球到达最低点时速度为零
B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
7如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度 被抛出，不计空气阻力，求它到达B点时速度的大小。
8如图所示，轻弹簧k一端与墙相连处于自然状态，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求弹簧的最大弹性势能及木块被弹回速度增大到3m/s时弹簧的弹性势能。
9、将细绳绕过两个定滑轮A和B，绳的两端各系一个质量为m的砝码。A、B间的中点C挂一质量为的小球，＜2m，A、B间距离为L，开始用手托住使它们都保持静止，如图所示。放手后和2个m开始运动，求：小球下落的最大位移H是多少?小球的平衡位置距C点距离h是多少?
二、我的疑问：
三、【合作探究】
机械能守恒的判定及机械能守恒定律的应用
例，如图，小球用不可伸长的长为L的轻线悬于O点，轻线能承受的最大拉力为重力的7倍，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，把小球拉至水平无初速释放，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围
例、如图所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
四【堂检测】
1甲乙两球质量相等，悬线一长一短，如图将两球由图示位置的同一水平无初速释放，如图所示，不计阻力，则对小球过最低点时的正确说法是（）
A、甲球的动能与乙球的动能相等
B、两球受到线的拉力大小相等
C、两球的向心加速度大小相等D、相对同一参考面，两球机械能相等
2一不计质量的直角形支架的两直角臂长度分别为2s和s，支架可绕水平固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，支架臂的两端分别连接质量为m和2m的小球A和B，开始时OA臂处于水平位置，如图所示．由静止释放后，则( )
A．OB臂能到达水平位置B．OB臂不能到达水平位置
C．A、B两球的最大速度之比为vA∶vB＝2∶1
D．A、B两球的最大速度之比为vA∶vB＝1∶2
3（08考）如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放.当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是()
A.θ=90°B.θ=45°
C.b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小
D.b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
4（2008年全国）如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m,用手托住，高度为h,此时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为()
A.hB.1.5hC.2hD.2.5h
5游乐场中的一种滑梯如图所示.小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下，则()
A.下滑过程中支持力对小朋友做功
B.下滑过程中小朋友的重力势能增加
C.整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D.在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
6如图所示，质量相等的A、B两物体在同一水平线上，当A物体被水平抛出的同时，B物体开始自由下落（空气阻力忽略不计），曲线AC为A物体的运动轨迹，直线BD为B物体的运动轨迹，两轨迹相交于O点，则两物体()
A.经O点时速率相等B.在O点相遇
C.在O点具有的机械能一定相等D.在O点时重力的功率一定相等
7（2008年上海）物体自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能,h代表下落的距离，以水平地面为零势能面.下列所示图像中，能正确反映各物理量之间的关系的是()
8.如图所示，重10N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧.滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab=0.8m,bc=0.4m，那么在整个过程中()
A.滑块动能的最大值是6JB.弹簧弹性势能的最大值是6J
C.从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6J
D.滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒
9一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂直于桌边，如图所示。现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面瞬时的速度为多大？
10图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R.一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点．试求：
(1)弹簧开始时的弹性势能．(2)物体从B点运动至C点克服阻力做的功．
(3)物体离开C点后落回水平面时的动能．
11．如图所示，半径为R的14圆弧支架竖直放置，圆弧边缘C处有一小滑轮，一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体，挂在定滑轮两边，且m1＝4m2，开始时m1、m2均静止，且能视为质点，不计一切摩擦，试求m1到达圆弧的A点时的速度大小．
12.一个质量ｍ=0.2kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上，弹簧的上端固定于环的最高点Ａ，环的半径Ｒ=0.5ｍ，弹簧的原长ｌ０=0.50ｍ，劲度系数为4.8Ｎ/ｍ.如图23/-7所示.若小球从图中所示位置Ｂ点由静止开始滑动到最低点Ｃ时，弹簧的弹性势能Ｅｐ弹=0.60Ｊ.求：（1）小球到Ｃ点时的速度ｖｃ的大小；（2）小球在Ｃ点对环的作用力.（ｇ取10ｍ/ｓ2）
13有一光滑水平板，板的中央有一小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为的小球，轻线的下端系着质量分别为m1、m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态。若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能在水平板上做匀速圆周运动？
【学习日记】
分析与解：该系统在自由转动过程中，只有重力做
功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为VA，B
球的速度为VB，则据机械能守恒定律可得：
mgr-mgr/2=mvA2/2+mVB2/2
据圆周运动的知识可知：VA=2VB
由上述二式可求得VA=
设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图17所示），则据机械能守恒定律可得：
mgr.cosθ-mgr(1+sinθ)/2=0
易求得θ=sin-1 。
解析：设m1运动到圆弧的最低点时，速度为v1，此时物体m2的速度为v2，速度分解如图，得v2＝v1cos45°.对m1、
m2组成的系统，机械能守恒得m1gR－m2g•2R＝12m1v12＋12m2v22又m1＝4m2
由以上三式可求得：v1＝23(4－2)gR.
答案：23(4－2)gR
6.（2008年海南高考）如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球.给小球一个足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动.在此过程中()
A.小球的机械能守恒
B.重力对小球不做功
C.绳的张力对小球不做功
D.在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
7.（2010年东济南模拟）物体在一个方向竖直向上的拉力作用下参与了下列三种运动：匀速上升、加速上升和减速上升.关于这个物体在这三种情况下机械能的变化情况，正确的说法是()
A.匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B.匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C.三种情况下，机械能均增加
D.由于这个拉力和重力大小关系不明确，不能确定物体的机械能的增减情况
9.(2010年辽宁抚顺模拟)一物体以速度v从地面竖直上抛，当物体运动到某高度时，它的动能恰为重力势能的一半（以地面为零势面），不计空气阻力，则这个高度为()
A. B.
C. D.
二、非选择题
10、如图5—4—18所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r<<R，有一质量为m，半径比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圆管。
（1）若要小球能从C端出，初速度v0多大？
（2）在小球从C端出的瞬间，对管壁的压力有哪几种典型情况，初速度各应满足什么条？
11.（2010年泰安模拟）如图所示，A、B是两个质量相同的物体，用轻绳跨过定滑轮相连，先用手托住B，此时A、B的高度差为h，使B无初速释放，斜面倾角为θ，一切摩擦均不计，试求A、B运动到同一水平线上时速率是多少？
12.（2010年宿迁调研）如图，让摆球从图中的C位置由静止开始下摆，正好摆到悬点正下方D处时，线被拉断，紧接着，摆球恰好能沿竖直放置的光滑半圆形轨道内侧做圆周运动，已知摆线长l=2.0m,轨道半径R=2.0m,摆球质量m=0.5kg.不计空气阻力.（g取10m/s2）
(1)求摆球落到D点时的速度和摆球在C点时与竖直方向的夹角θ;
(2)如仅在半圆形内侧轨道上E点下方 圆弧有摩擦，摆球到达最低点F时的速度为6m/s，求摩擦力做的功.
1．下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A．跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降
B．忽略空气阻力，物体竖直上抛
C．火箭升空
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
解析：选B.跳伞运动员匀速下降，除重力做功外，还有阻力做功，A错；物体竖直上抛时，只有重力做功，机械能守恒，B正确；火箭升空时，推力做正功，机械能增加，C不正确；拉着物体沿光滑斜面匀速上升时，机械能增加，D不正确．
2．如图5－3－13所示，一轻质弹簧竖立于地面上，质量为m的小球，自弹簧正上方h高处由静止释放，则从小球接触弹簧到将弹簧压缩至最短(弹簧的形变始终在弹性限度内)的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球做正功，小球的重力势能减小
C．由于弹簧的弹力对小球做负功，所以弹簧的弹性势能一直减小
D．小球的加速度一直减小
解析：选B.小球与弹簧作用过程，弹簧弹力对小球做负功，小球的机械能减小，转化为弹簧的弹性势能，使弹性势能增加，因此A错误，C错误；小球下落过程中重力对小球做正功，小球的重力势能减小，B正确；分析小球受力情况，由牛顿第二定律得：mg－kx＝ma，随弹簧压缩量的增大，小球的加速度a先减小后增大，故D错误．
3．(2010年江苏启东中学质检)如图5－3－14所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则( )
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较大
解析：选BD.整个过程中两球减少的重力势能相等，A球减少的重力势能完全转化为A球的动能，B球减少的重力势能转化为B球的动能和弹簧的弹性势能，所以A球的动能大于B球的动能，所以B正确；在O点正下方位置根据牛顿第二定律，小球所受拉力与重力的合力提供向心力，则A球受到的拉力较大，所以D正确．
4．如图5－3－15所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量可不计)，而小球可绕穿过轻杆中心O的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中( )
A．b球的重力势能减小，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减小
C．a球和b球的总机械能守恒
D．a球和b球的总机械能不守恒
解析：选AC.两球组成的系统，在运动中除动能和势能外没有其他形式的能转化，所以系统的机械能守恒．
5．(2010年江苏启东中学质检)如图5－3－16所示，质量相等的甲、乙两物体开始时分别位于同一水平线上的A、B两点．当甲物体被水平抛出的同时，乙物体开始自由下落．曲线AC为甲物体的运动轨迹，直线BC为乙物体的运动轨迹，两轨迹相交于C点，空气阻力忽略不计．则两物体( )
A．在C点相遇
B．经C点时速率相等
C．在C点时具有的机械能相等
D．在C点时重力的功率相等
解析：选AD.甲做平抛运动的同时乙做自由落体运动，平抛运动可以看作竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，所以竖直方向上甲乙运动的情况相同，交点表示两物体相遇的位置，所以A正确；在C位置，甲竖直方向的速度与乙的速度相等，重力相等所以重力的功率相等，故D正确；而甲具有水平方向的速度，所以甲的速率大于乙的速率，B错误，此时两物体重力势能相等，但是甲的动能大于乙的动能，所以甲的机械能大于乙的机械能，故C错误．
6．(2009年大连模拟)如图5－3－17所示，在高1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10m/s2)( )
图5－3－17
A．10J B．15J
C．20JD．25J
解析：选A.由h＝12gt2和vy＝gt得：vy＝30m/s，
落地时，由tan60°＝vyv0可得：v0＝vytan60°＝10m/s，
由机械能守恒得：Ep＝12mv02，可求得：Ep＝10J，故A正确．
7．(2008年高考全国卷Ⅱ)如图5－3－18所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( )
A．hB．1.5h
C．2hD．2.5h
解析：选B.绳不可伸长，从静止开始释放b球到b球落地的过程，两球具有共同大小的加速度和共同的速率，有：3mg－mg＝4ma，解得a＝12g，则b球落地时a球的速度v＝2ah＝gh，此后a球以加速度g向上做匀减速直线运动，上升高度h′＝－v2－2g＝0.5h，所以从静止开始释放b球后，a球到达的最大高度为1.5h，故选项B正确．
8．(2010年福建福州第一次模拟)如图5－3－19所示，小车上有固定支架，一可视为质点的小球用轻质细绳拴挂在支架上的O点处，且可绕O点在竖直平面内做圆周运动，绳长为L.现使小车与小球一起以速度v0沿水平方向向左匀速运动，当小车突然碰到矮墙后，车立即停止运动，此后小球上升的最大高度可能是( )
A．大于v022gB．小于v022g
C．等于v022gD．等于2L
答案：BCD
9．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，如图5－3－20所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为( )
A.4v2gB.3v2g
C.3v24gD.4v23g
解析：选D.设滑块A的速度为vA，因绳不可伸长，两滑块沿绳方向的分速度大小相等，得：vAcos30°＝vBcos60°，又vB＝v，设绳长为s，由A、B组成的系统机械能守恒得：mgscos60°＝12mvA2＋12mv2，以上两式联立可得：s＝4v23g，故选D.
10．(2010年湖北联考)过车质量均匀分布，从高为h的平台上无动力冲下倾斜轨道并进入水平轨道，然后进入竖直圆形轨道，如图5－3－21所示，已知过车的质量为，长为L，每节车厢长为a，竖直圆形轨道半径为R，L＞2πR，且R≫a，可以认为在圆形轨道最高点的车厢受到前后车厢的拉力沿水平方向，为了不出现脱轨的危险，h至少为多少？(用R、L表示，认为运动时各节车厢速度大小相等，且忽略一切摩擦力及空气阻力)
解析：不出现脱轨的最小速度为车厢恰能通过圆轨道最高点的速度，由mg＝mv2/R得：v＝gR①
由机械能守恒得：gh＝12v2＋2πRL•gR②
解①②得：h＝R2＋2πR2L.
答案：R2＋2πR2L
解析：(1)物块在B点时，
由牛顿第二定律得：
FN－mg＝mvB2R，FN＝7mg
EkB＝12mvB2＝3mgR.
在物体从A点至B点的过程中，
根据机械能守恒定律，
弹簧的弹性势能Ep＝EkB＝3mgR.
(2)物体到达C点仅受重力mg，
根据牛顿第二定律有
mg＝mvC2R
EkC＝12mvC2
＝12mgR
物体从B点到C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：
W阻－mg•2R＝EkC－EkB
解得W阻＝－0.5mgR
所以物体从B点运动至C点克服阻力做的功为W＝0.5mgR.
(3)物体离开轨道后做平抛运动，
仅有重力做功，根据机械能守恒定律有：
Ek＝EkC＋mg•2R＝2.5mgR.
答案：(1)3mgR (2)0.5mgR (3)2.5mgR
6、应用机械能守恒定律的解题思路
（1）确定研究系统（通常是物体和地球、弹簧等）和所研究的过程。
（2）进行受力分析，确认是否满足守恒的条。
（3）选择零势能参考面（点）。
（4）确定初、末状态的动能和势能。
（5）根据机械能守恒定律列方程求解。
7、应用机械能守恒定律应该注意
（1）必须准确地选择系统，在此基础上分析内力和外力的做功情况；
（2）必须由守恒条判断系统机械能是否守恒；
（3）必须准确地选择过程，确定初、末状态；
（4）写守恒等式时应注意状态的同一性。
(3)机械能守恒的条:只有重力或弹力做功,包括以下三种情况:
①只有重力和弹力作用,没有其他力作用;
②有重力、弹力以外的力作用,但这些力不做功;
③有重力、弹力以外的力做功,但这些力做功的代数和为零.
(４)对机械能守恒定律的理解：
①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。
②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”判定机械能是否守恒。
③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。
④机械能的变化与重力和弹簧中弹力做功均没有关系，其变化量的大小等于除重力、弹簧中弹力以外的其它力对系统做的功。如果除重力、弹簧中弹力以外的其它力对系统做正功，则系统机械能增加；如果除重力、弹簧中弹力以外的其它力对系统做负功，则系统机械能减小。
(5)．机械能是否守恒的判断：
①从做功判断：分析物体或物体系受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
②从能量转化判断：若物体或物体系中只有动能和重力势能、弹性势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或物体系机械能守恒．如绳子突然绷紧、物体间碰撞粘合等现象时，机械能不守恒．
（6）应用机械能守恒定律的基本思路:
①选取研究对象——物体系或物体.
②根据研究对象所经历的物理过程,进行受力分析,做功分析,判断机械能是否守恒.
③恰当地选好参考平面,确定研究对象在过程的初末状态时的机械能.
④根据机械能守恒定律列方程,进行求解.
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