第四　平面向量

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　　1.平面向量的实际背景及基本概念
(1)了解向量的实际背景；
(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
(3)理解向量的几何 表示.
2.向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.
3.平面向量的基本定理及其坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义；
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条.
4.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题.本重点：
1.向量的各种运算；
2.向量的坐标运算及数形结合的思想；
3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用.
本难点：
1.向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；
2.向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用.　　向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以它成为中学数学知识的一个交汇点.在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查.
在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值.

知识网络

4.1　平面向量的概念及线性运算

典例精析
题型一　向量的有关概念
【例1】 下列命题：
①向量 的长度与 的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量 与向量 是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.
其中真命题的序号是　　　.
【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错； 与 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.
【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【变式训练1】下列各式：
①a＝ ；
②(a b) c＝a (b c)；
③ － ＝ ；
④在任意四边形ABCD中，为AD的中点，N为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b).
其中正确的个数为(　　)
A.1B.2C.3D.4
【解析】选D. a＝ 正确；(a b) c≠a (b c)； － ＝ 正确；如下图所示，

= + + 且 = + + ，
两式相加可得2 ＝ ＋ ，即命题④正确；
因为a，b不共线，且a＝b＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，
即得(a＋b)⊥(a－b).
所以命题①③④⑤正确.
题型二　与向量线性运算有关的问题
【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点在线段DO上，且 = ，点N在线段OC上,且 = ,设 =a, =b,试用a、b表示 ， ， .
【解析】在▱ABCD中，AC，BD交于点O，
所以 ＝12 ＝12( － )＝12(a－b)，
＝ ＝12 ＝12( ＋ )＝12(a＋b).
又 ＝13 ， ＝13 ，
所以 ＝ ＋ ＝b＋13
＝b＋13×12(a－b)＝16a＋56b，
＝ ＋ ＝ ＋13
＝43 ＝43×12(a＋b)＝23(a＋b).
所以 ＝ －
＝23(a＋b)－(16a＋56b)＝12a－16b.
【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.
【变式训练2】O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足 ＝ ＋λ( ＋ )，若λ＝12时，则 ( ＋ )的值为　　　　.
【解析】由已知得 － ＝λ( ＋ )，
即 ＝λ( ＋ )，当λ＝12时，得 ＝12( ＋ )，
所以2 ＝ ＋ ，即 － ＝ － ，
所以 ＝ ，
所以 ＋ ＝ ＋ ＝0，
所以 ( ＋ )＝ 0＝0，故填0.
题型三　向量共线问题
【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
【解析】(1)证明：因为 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，
所以 ＝ ＋ ＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5 ，
所以 ， 共线.又因为它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
(2)因为ka＋b和a ＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因为a与b是不共线的两个非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.
【点拨】(1)向量共线的充要条中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
【变式训练3】已知O是正三角形BAC内部一点， +2 +3 =0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（）
A.32B.23
C.2D.13
【解析】如图，在三角形ABC中， ＋2 ＋3 ＝0，整理可得 ＋ ＋2( ＋ )＝0.令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O在点F与点E连线的13处，即OE＝2OF.
设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝12 OE (h2＋h2)＝12OE•h，
S△OAB＝12AB 12h＝14AB•h，
由于AB＝2EF，OE＝23EF，所以AB＝3OE，
所以S△OACS△OAB＝ ＝23.故选B.
总结提高
1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.
2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出.
3.当向量a与b共线同向时，a＋b＝a＋b；
当向量a与b共线反向时，a＋b＝a－b；
当向量a与b 不共线时，a＋b＜a＋b.

4.2　平面向量的基本定理及其坐标表示

典例精析
题型一　平面向量基本定理的应用
【例1】如图▱ABCD中,,N分别是DC，BC中点.已知 =a, =b,试用a，b表示 ， 与
【解析】易知 ＝ ＋
＝ ＋12 ，
＝ ＋ ＝ ＋12 ，
即
所以 ＝23(2b－a)， ＝23(2a－b).
所以 ＝ ＋ ＝23(a＋b).
【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.
【变式训练1】已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足 ＋ ＋ ＝0，则 等于(　　)
A.13　　　　B.12　　　　C.1　　　　D.2
【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知 ＋ ＝2 ，因此结合 ＋ ＋ ＝0即得 ＝2 ，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以 ＝1，即选C.
题型二　向量的坐标运算
【例2】 已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，
所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).
(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)
⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，
所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.
(2)u∥v ⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
⇔
⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1.
【点拨】对用坐标表示的向量说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.
【变式训练2】已知向量an＝(cosnπ7，sinnπ7)(n∈N*)，b＝1.则函数y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2的最大值为　　　.
【解析】设b＝(cos θ，sin θ)，所以y＝a1＋b2＋a2＋b2＋a3＋b2＋…＋a141＋b2＝(a1)2＋b2＋2(cosπ7，sinπ7)(cos θ，sin θ)＋… ＋(a141)2＋b2＋2(cos141π7，sin141π7)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(π7－θ)，所以y的最大值为284.
题型三　平行(共线)向量的坐标运算
【例3】已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积.
【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.
由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.
(2)因为m⊥p，所以m•p＝0，即
a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.
由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
所以(ab)2－3ab－4＝0.
所以ab＝4或ab＝－1(舍去).
所以S△ABC＝12absin C＝12×4×32＝3.
【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则
①m∥n⇔x1y2＝x2y1；②m⊥n⇔x1x2＋y1y2＝0.
【变式训练3】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为(　　)
A.10－53B.10＋53
C.10－23D.10＋23
【解析】由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－12或cos C＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2ab⇒ab≤25，所以c2≥75，即c≥53，所以a＋b＋c≥10＋53，当且仅当a＝b＝5时，等号成立.故选B.
总结提高
1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起.向量方法是几 何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算.
2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用.
3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标.

4.3　平面向量的数量积及向量的应用

典例精析
题型一　利用平面向量数量积解决模、夹角问题
【例1】 已知a，b夹角为120°，且a＝4，b＝2，求：
(1)a＋b；
(2)(a＋2b) •(a＋b)；
(3)a与(a＋b)的夹角θ.
【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a•b
＝16＋4－2×4×2×12＝12，
所以a＋b＝23.
(2)(a＋2b) •(a＋b)＝a2＋3a•b＋2b2
＝16－3×4×2×12＋2×4＝12.
(3)a•(a＋b)＝a2＋a•b＝16－4×2×12＝12.
所以cos θ＝ ＝124×23＝32，所以θ＝π6.
【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.
【变式训练1】已知向量a，b，c满足：a＝1，b＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则a与b的夹角大小是　　　　.
【解析】 由c⊥a⇒c•a＝0⇒a2＋a•b＝0，
所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.
题型二　利用数量积解决垂直与平行的问题
【例2】 在 △ABC中， ＝(2，3)， ＝(1，k)，且△A BC的一个内角为直角，求k的值.
【解析】①当∠A＝90°时，有 • ＝0，
所以2×1＋3•k＝0，所以k＝－23；
②当∠B＝90°时，有 • ＝0，
又 ＝ － ＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0⇒k＝113；
③当∠C＝90°时，有 • ＝0，
所以－1＋k•(k－3)＝0，
所以k2－3k－1＝0⇒k＝3±132.
所以k的取值为－23，113或3±132.
【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.
【变式训练2】△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，
求 • ＋ • ＋ • .
【解析】因为2 • ＋2 • ＋2 •
＝( • ＋ • )＋( • ＋ • )＋( • ＋ • )
＝ •( ＋ )＋ •( ＋ )＋ •( ＋ )
＝ • ＋ • ＋ •
＝－42－62－52＝－77.
所以 • ＋ • ＋ • ＝－772.
题型三　平面向量的数量积的综合问题
【例3】数轴Ox，Oy交于点O，且∠xOy＝π3，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与Ox，Oy同向 的单位向量，设P为坐标平面内一点，且 ＝xe1＋ye2，则点P的坐标为(x，y)，已知Q(－1，2).
(1)求 的值及 与Ox的夹角；
(2)过点Q的直线l⊥OQ，求l的直线方程(在斜坐标系中).
【解析】(1)依题意知，e1•e2＝12，
且 ＝－e1＋2e2，
所以 2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1•e2＝3.
所以 ＝3.
又 •e1＝(－e1＋2e2) •e1＝－e21＋2e1 e2＝0.
所以 ⊥e1，即 与Ox成90°角.
(2)设l上动点P(x，y)，即 ＝xe1＋ye2，
又 ⊥l，故 ⊥ ，
即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] •(－e1＋2e2)＝0.
所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) •12＋2(y－2)＝0，
所以y＝2，即为所求直线l的方程.
【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇 ，体现以能力立意的命题原则是近年高考的命题趋势.
【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0).对于某个正实数k，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得 ＝λ ( ＋ )(λ为常数)，其中点P，Q的坐标分别为(1，f(1))，(k，f(k))，则k的取值范围为(　　)
A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)
C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)
【解析】如图所示，设 ＝ ， ＝ ， ＋ ＝ ，则 ＝λ .因为P(1，a)，Q(k，ak2)， ＝(1，0)， ＝(kk2＋a2k4，ak2k2＋a2k4)， ＝(kk2＋a2k4＋1，ak2k2＋a2k4)，则直线OG的方程为y＝ak2k＋k2＋a2k4x，又 ＝λ ，所以P(1，a)在直线OG上，所以a＝ak2k＋k2＋a2k4，所以a2＝1－2k.
因为 ＝1＋a2＞1，所以1－2k＞0，所以k＞2. 故选A.
总结提高
1.本节是平面向量这一的重要内容，要准确理解两个?向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a•b) •c≠a•(b•c)；数量积不满足消去律，即a•b＝a•c推不出b＝c.
2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直.
3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.

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