专题五 平面向量
【重点知识回顾】
向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力
因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性
平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一组基底。
向量的坐标表示
. 平面向量的数量积
数量积的几何意义：
（2）数量积的运算法则
【典型例题】
1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理
例1. (2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)?c=（ ）
A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11
解：(a+2b) ，(a+2b)?c ，选C
点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字
例2、(2008广东文)已知平面向量 ，且 ∥ ，则 =（ ）
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
解：由 ∥ ，得m＝－4，所以，
＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。
点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的 倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆
例3．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若 = ， = ，试用 ， 将向量 ， ， ， 表示出来。
（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量 ， 来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可
因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，
所以 ， = ＋ ， = = + ，
由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以 = ＋ = + = + + =2 + ，
同样在平行四边形 BCDO中， ＝ ＝ ＝ ＋( ＋ )＝ ＋2 ， ＝ ＝ －
点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ， 表示，且可用规定其中任两个向量为 ， ，另外任取两点为起点和终点，也可用 ， 表示。
例4．已知 中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求 。
解析：设D(x,y)，则
∵
得
所以 。
2. 向量与三角函数的综合问题
例5、（2008深圳福田等）已知向量 ,函数
(1)求 的最小正周期; (2)当 时, 若 求 的值．
解：(1) .
所以，T＝ .
(2) 由 得 ，
∵ ，∴ ∴ ∴
点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.
例6、（2007山东文）在 中，角 的对边分别为 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 ．
解：（1）
又 解得 ．
， 是锐角． ．
（2）由 ， ， ．
又 ． ．
． ．
点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。
3. 平面向量与函数问题的交汇
例7．已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间
解：（1）法一：由题意知x＝( , ),
y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x ? y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ), ∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x ? y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝ t3－ t ∴k?＝f?(t) ＝ t3－ ,
令k?＜0得－1＜t＜1；令k?＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
[归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用
[变式] 已知平面向量 ＝( ，－1)， ＝( ， )，若存在不为零的实数k和角α，使向量 ＝ ＋(sinα－3) , ＝－k ＋(sinα) ,且 ⊥ ，试求实数k 的取值范围。
[点拨] 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。
解：仿例3（1）解法（二）可得
k＝ ( sinα－ )2－ ,而－1≤sinα≤1,
∴当sinα＝－1时，k取最大值1； sinα＝1时，k取最小值－ .
又∵k≠0 ∴k的取值范围为 .
4. 平面向量在平面几何中的应用
例8、如图在Rt ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问 与 的夹角 取何值时， 的值最大？并求出这个最大值
解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设AB=c，AC=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且PQ=2a，BC=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），
∴cx-by=a2cos .∴ =- a2+ a2cos .故当cos =1，即 =0（ 方向相同）时， 的值最大，其最大值为0.
点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。
例9、已知A、B为抛物线 (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，
（1）若 ，求抛物线的方程。
（2）CD是否恒存在一点K，使得
D K C
解：（1）提示：记A（ ）、B （ ）设直线AB方程为 代入抛物线方程得
（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，
则
＝ － ＝ － ＝0
故存在点K即点T，使得
[实质：以AB为直径的圆与准线相切]
[变式]（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段 所成的比为 ，证明: ；
解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程 得
①
设A、B两点的坐标分别是 、 、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段 所成的比为 ，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而 .
所以
【模拟演练】
一、选择题
1．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）
A． B． C． D．4
2．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 =(2，0),向量 =（2，2），向量 =（ ），则向量 与向量 的夹角的范围为 （ ）
A．［0， ］ B．［ ， ］ C．［ ， ］ D．［ ， ］
4．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则 ? = （ ）
A． B． C．3 D．－3
5． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 = +λ( )， ，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．已知平面上直线l的方向向量e=（ , ），点O（0，0）和A(1, －2)在上的射影分别是O/和A/，则 ，其中λ=（ ）
A． B． C．2 D．－2
7、 （ ）
A． B. C. D. 1
8、已知 ， ，则向量 与 （ ）
A.互相平行 B. 夹角为 C.夹角为 D.互相垂直
9、已知向量 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
10、若向量 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
11、已知非零向量 若 且 又知 则实数 的值为 （ ）
A. B. C. 3 D. 6
12. 把函数y＝ 的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
二、填空题
13．已知向量a、b的夹角为 ，a＝2，b＝1，则a＋ba－b的值是 .
14.已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且 ＝ , ＝ ,设 ＝ ， ＝ ，则 ＝ .
15. △ABC中， ,其中A、B、C是△ABC的三内角，则△ABC是 三角形。
16. 已知 为坐标原点，动点 满足 ，其中 且 ，则 的轨迹方程为 .
三、解答题
17. 已知向量 ， .（1）若 ，试判断 与 能否平行
（2）若 ，求函数 的最小值.
18. 设函数 ，其中向量 ， .
（1）求函数 的最大值和最小正周期；
（2）将函数 的图像按向量 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 .
19. 如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ＝2ｒ，问：当P、Q取什么位置时， ? 有最大值?
20. 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若 且4 ≤ ≤ ，求直线l的斜率的取值范围
21. 已知点 是圆 上的一个动点，过点 作 轴于点 ，设 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）求向量 和 夹角的最大值，并求此时 点的坐标
22. 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 且与点A相距40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 + (其中sin = ， )且与点A相距10 海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
专题训练答案
一、选择题
1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7．A 8．A 9．D 10．B
11．D 12． A
二、填空题
13． 14. ；15.直角16.
三、解答题
17. 解：（1）若 与 平行，则有 ，因为 ， ，所以得 ，这与 相矛盾，故 与 不能平行.
（2）由于 ，又因为 ，所以 ， 于是 ，当 ，即 时取等号.故函数 的最小值等于 .
18．解：（1）由题意得，f(x)＝a?(b+c)=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ sin(2x+ ).
所以，f(x)的最大值为2+ ，最小正周期是 ＝ .
（2）由sin(2x+ )＝0得2x+ ＝k. ，即x＝ ,k∈Z，
于是d＝（ ，－2）， k∈Z.
因为k为整数，要使 最小，则只有k＝1，此时d＝（? ，?2）即为所求.
19. 解： ? ＝（ ）?（ ）
＝（ ）?（－ ）
＝－r2＋ ? ?
设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则
? ＝－r2＋cbcosθ＋racosθ
∵a、b、c、α、r均为定值，
∴当cosθ＝1，即AP∥BC时， ? 有最大值.
20. 略解 （1）y2＝4x (x＞0)
（2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为
y＝kx＋b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程，得
ky2－ 4y＋4b＝0,由 ，得 .
又 故 而
解得直线l的斜率的取值范围是
21. 解析：（1）设 ， ，则 ， ，
.
（2）设向量 与 的夹角为 ，则 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，即 点坐标为 时，等号成立.
22. 解: （I）如图，AB=40 ，AC=10 ，
由于 ,所以cos =
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为 （海里/小时）.
（2）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos ,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k= ,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
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