高中数学复习讲义 第八章 直线和圆的方程
【知识图解】
【方法点拨】
1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．
2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.
3．熟练运用待定系数法求圆的方程．
4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．
5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．
6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．
第1课 直线的方程
【考点导读】
理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．
高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.
【基础练习】
1.直线xcosα＋ y＋2＝0的倾斜角范围是
2.过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是
3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为
4.无论 取任何实数，直线 必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）
【范例导析】
例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m ，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.
解:（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在．
当m≠－1时， ，
（2）当m=－1时，AB：x=－1，
当m≠1时，AB： .
（3）①当m=－1时， ；
②当m≠－1时，
∵
∴
故综合①、②得，直线AB的倾斜角
点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.
例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当PA?PB取最小值时,求直线l的方程.
分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.
解 （1）设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2- ,0),B(0,1-2k),且2- >0, 1-2k>0,即k<0.
△AOB的面积S= (1-2k)(2- )= [(-4k)+ +4]≥4,当-4k= ,即k= 时, △AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).
分别令y=0和x=0,得A(2- ,0),B(0,1-2k),
∴PA?PB= ,当且仅当k2=1,即k=±1时, PA?PB取得最小值4.又k<0, ∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.
解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0, ),且PA?PB=
当且仅当θ= 时, PA?PB取得最小值4,此时直线l的斜率为-1, 直线l的方程是x+y-3=0.
点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.
例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.
分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.
解：解法一 设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有
，解得
直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.
解法二 由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝ ，∵A,B两点分别l1和l2上，∴ ，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，
从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.
解法三 设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.
点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。
【反馈练习】
1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程 + ＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示，其中正确的是①③④
2.设直线l的方程为 ,当直线l的斜率为-1时，k值为__5__,当直线l 在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为1或3
3.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为 ，且sin +cos =0，则a,b满足的关系式为
4.若直线l：y＝kx 与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是
5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为 ，则c的值为
6．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是
7.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解：∵P（2，3）在已知直线上，∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即 =－ ∴所求直线方程为y－b1=－ （x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
点拨：1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想，方法巧妙.
8.一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝ ，tanθ＝tan2α＝ ，
从而方程为8x－15y+6=0
（2）设直线方程为 ＋ ＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得 ＋ ＝1≥2 ，得ab≥24，
从而S△AOB＝ ab≥12，
此时 ＝ ，∴k＝－ ＝－
点拨：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值
第2课 两条直线的位置关系
【考点导读】
1.掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的交点，掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式.
2.高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用，有时考察单一知识点,有时也和函数三角不等式等结合，题目难度中等偏易.
【基础练习】
1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为-8
2.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=0
3.若三条直线 和 相交于一点，则k的值等于 .
【范例导析】
例1.已知两条直线 :x+m2y+6=0, :(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时, 与
（1）相交；（2）平行；（3）重合？
分析：利用垂直、平行的充要条件解决.
解:当ｍ＝0时， ：x＋６＝０， ：x＝０，∴ ∥ ，
当ｍ＝2时， ：x＋４y＋６＝０， ：３y＋２＝０
∴ 与 相交；
当m≠０且m≠２时，由 得m＝－１或m＝３，由 得m＝3
故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时 与 相交。
（２）m＝－１或m＝０时 ∥ ，
（３）当m＝３时 与 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.
例2.已知直线 经过点P（3，1），且被两平行直线 ：x+y+1=0和 ：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线 的方程。
分析：可以求出直线 与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率
解法一：:若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为x=3，此时与 、 的交点分别是A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段AB的长AB=-4+9=5，符合题意。若直线 的斜率存在，则设 的方程为y=k（x-3）+1，
解方程组 得A（ － ）
解方程组 得B（ ，－ ）
由AB=5得
+ =25，
解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。
综上可知，所求 的方程为x=3或y=1。
解法二.设直线 与 、 分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
联立① ②，可得 或
由上可知，直线 的倾斜角为0°或90°，又由直线 过点P（3，1），故所求 的方程为x=3或y=1。
点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论.
【反馈练习】
1.已知直线 在 轴上的截距为1，且垂直于直线 ，则 的方程是
2.若直线 与 互相垂直，则 -3或1
3.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是___-1___.
4.已知 ，且点 到直线 的距离等于 ，则 等于
5. 经过直线 与 的交点，且平行于直线 的直线方程是3x+6y-2=0
6.线 过点 ， 过点 ， ∥ ，且 与 之间的距离等于5，求 与 的方程。
解： 与 的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0或x=5,x=0
7.已知!ABC的三边方程分别为AB: ，BC: ，CA: .
求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程.
解：（1）AB边上的高斜率为 且过点C，解方程组 得点C（ ，2）所以AB边上的高方程为 .
（2）设P 为∠BAC的内角平分线上任意一点，则 解得 或 ，由图形知 即为所求.
第3课 圆的方程
【考点导读】
1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主.
【基础练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y－1)2 = 25
2.过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（x－1）2＋（y－1）2＝4
3.已知圆C的半径为2，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆C相切，则圆C的方程为
4.圆 与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c值为_-11__
5.如果方程 所表示的曲线关于直线 对称，那么必有__D=E__
【范例导析】
【例1】设方程 ，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得： 该方程表示圆，则有 ，得 ，此时圆心的轨迹方程为 ，消去m，得 ，由 得x=m+3 所求的轨迹方程是 ，
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
变式1：方程 表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
解：原方程可化为
当a 时，原方程表示圆。
又
当 ，所以半径最小的圆方程为
例2 求半径为4，与圆 相切，且和直线 相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆 ．
圆 与直线 相切，且半径为4，则圆心 的坐标为 或 ．
又已知圆 的圆心 的坐标为 ，半径为3．
若两圆相切，则 或 ．
(1)当 时， ，或 (无解)，故可得 ．
∴所求圆方程为 ，或 ．
(2)当 时， ，或 (无解)，故 ．
∴所求圆的方程为 ，或 ．
【反馈练习】
1.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞0
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是
4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是
6.方程 表示的曲线是_两个半圆
7.圆 关于直线 的对称圆的方程是
8.如果实数x、y满足等式 ，那么 的最大值是
9.已知点 和圆 ，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为___8___
10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x0,y0),则有 ,
解得 x0=4, y0=5,
∴半径r= ,
∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
11. 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2 ，求此圆的方程
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为
又因为直线y=x截圆得弦长为2 ，
则有 + =9b2，
解得b=±1 故所求圆方程为
或
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F.
第4课 直线与圆的位置关系
【考点导读】
能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.
【基础练习】
1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜4
2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于
3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .
【范例导析】
例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
由 得 即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－ ， ∴l的方程为2x－y－5=0.
点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.
例2.已知圆O: ，圆C: ，由两圆外一点 引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足PA=PB.求实数a、b间满足的等量关系.
解：连结PO、PC，∵PA=PB，OA=CB=1
∴PO2=PC2，从而
化简得实数a、b间满足的等量关系为: .
例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线 的距离等于 .
求圆C的方程.
解：设圆C半径为 ，由已知得： ∴ ，或
∴圆C方程为 .
例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y=33x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．
解：（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
. 即 .
已知圆C与 ,
圆心C在过点D且与 垂直的直线上， ,又圆心C在过点A且与 垂直的直线上， , ，圆C的半径r=3，
故所求圆C的方程为 .
（2）设点 关于 的对称点 ，则 ，得 ,固定点Q可发现，当 共线时， 最小，
故 的最小值为 .此时由 ,得 .
【反馈练习】
1.圆x2+y2-4x=0在点P(1, )处的切线方程为
2.已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，其斜率k的取值范围是
3.设m>0,则直线 (x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为相切或相离
解析：圆心到直线的距离为d= ,圆半径为 .
∵d-r= - = (m-2 +1)= ( -1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为3
5.点P从(1,0)出发,沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达Q点,则Q的坐标为
6.若圆 与直线 相切，且其圆心在 轴的左侧，则 的值为
7.设P为圆 上的动点，则点P到直线 的距离的最小值为 1 .
8.已知平面区域 恰好被面积最小的圆 及其内
部所覆盖．
(1)试求圆 的方程.
(2)若斜率为1的直线 与圆C交于不同两点 满足 ,求直线 的方程.
解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 构成的三角形及其内部,且△ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 ,所以圆 的方程是 .
(2)设直线 的方程是: .
因为 ,
所以圆心 到直线 的距离是 ,
即
解得: .所以直线 的方程是: .
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