2012届高考数学难点突破复习 数列的概念

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音美班案1 数列的概念
一、基础知识
1.数列的概念:数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数N*或其子集{1,2,3,……n}的函数f(n).数列的一般形式为a1,a2,…,an…,简记为{an},其中an是数列{an}的第 项.
2.数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.
3.在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为:
4.求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法.
⑵ 观察归纳法:先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取n的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明.
⑶ 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式
二、典型例题
例1. 根据下面各数列的前n项的值,写出数列的一个通项公式.
⑴ - , ,- , …;
⑵ 1,2,6,13,23,36,…;
⑶ 1,1,2,2,3,3,
变式训练1.某数列{an}的前四项为0, ,0, ,则以下各式:
① an= [1+(-1)n] ② an= ③ an=
其中可作为{an}的通项公式的是( )A.①B.①② C.②③ D.①②③
例2. 已知数列{an}的前n项和Sn,求通项.
⑴ Sn=3n-2
⑵ Sn=n2+3n+1


变式训练2:已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .


例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式.
⑴ a1=1,an=2an-1+1 (n≥2)
⑵ a1=1,an= (n≥2)
⑶ a1=1,an= (n≥2)

变式训练3.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*),求该数列的通项公式.


三、课后练习
1、(2009?北京石景山)已知数列{an}的前n项和Sn=n3,则a3+a6的值为(  )
A.91   B.152   C.218   D.279
2.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于(  )
A.-165  B.-33 C.-30 D.-21
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于(  )
A.4    B.2 C.1    D.-2
4.已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,则数列{an}的通项公式an=________.
5.根据下列条件,求数列的通项公式an.
(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n;
(2)在数列{an}中,an+1=n+2nan,a1=4;
(3)在数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1;
四、归纳小结
1.由Sn求an时,用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件,a1应由a1=S1来确定,最后看二者能否统一.
2.由递推公式求通项公式的常见形式有:an+1-an=f(n), =f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).
音美班案2 等差数列
一、基础知识
1.等差数列的定义: - =d(d为常数).
2.等差数列的通项公式:⑴ an=a1+ ×d ⑵ an=am+ ×d
3.等差数列的前n项和公式:Sn= = .
4.等差中项:如果a、b、c成等差数列,则b叫做a与c的等差中项,即b= .
5.数列{an}是等差数列的两个重要结论:
⑴ 数列{an}的通项公式可写成an=pn+q(p, q∈R)
⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn=an2+bn (a, b∈R)
6.等差数列{an}的两个重要性质:⑴ m, n, p, q∈N*,若m+n=p+q,则 .
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 数列.
二、典型例题
例1. 在等差数列{an}中,
(1)已知a15=10,a45=90,求a60;
(2)已知S12=84,S20=460,求S28;
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.


变式训练1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10= .
例2.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(  )
A.130 B.170 C.210 D.260
变式训练2.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比 ,则 的值是( )
A. B. C. D.
例3. 在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,问此数列前几项的和最大?

例4. 已知数列{an}满足a1=2a,an=2a- (n≥2).其中a是不为0的常数,令bn= .
⑴ 求证:数列{bn}是等差数列.
⑵ 求数列{an}的通项公式.
变式训练2.已知公比为3的等比数列 与数列 满足 ,且 ,
(1)判断 是何种数列,并给出证明;
(2)若 ,求数列 的前n项和

三.课后练习
1(2009?陕西,13)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项an=________.
2(2009?北京宣武)在等差数列{an}中,a1+2a8+a15=96,则2a9-a10=(  )
A.24   B.22   C.20   D.-8
3.在等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则a12=(  )
A.0 B.3 C.6 D.-3
4(2009?北京朝阳)在等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,已知a2a3=13,则S4S5等于(  )A.815 B.40121 C.1625 D.57
5(2009?海南海口)设{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+a7=50,则a6+a9+a12=(  )A.40 B.30 C.20 D.10
6(2010?福建省六校联考试题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+a5=12S5,且a9=20,则S11=(  )A.260 B.220 C.130 D.110
7(2011?原创题)等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=2010,S20072007-S20052005=-2,则S2010的值为(  )A.-2009 B.2009 C.-2010 D.2010
8(2009?全国Ⅰ,14)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=________.
9.若{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是__________.
四、归纳小结
1.欲证{an}为等差数列,最常见的做法是证明:an+1-an=d(d是一个与n无关的常数).
2.a1,d是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出a1,d,再求其他的量,但有时运算较繁.
3.高考中对性质的考察及等差数列基本公式考察较多,同学们要熟记。
音美班教学案3等比数列
一、基础知识
1.等比数列的定义: =q(q为不等于零的常数).
2.等比数列的通项公式:⑴ an=a1qn-1 ⑵ an=amqn-m
3.等比数列的前n项和公式: Sn=
4.等比中项:如果a,b,c成等比数列,那么b叫做a与c的等比中项,即b2= (或b= ).
5.等比数列{an}的几个重要性质:
⑴ m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则 .
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 数列.
⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比q= .
二、典型例题
例1. 已知等比数列{an},a2=8,a5=512.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.


变式训练1.已知等比数列{an}前n项和Sn=2n-1,{an2}前n项和为Tn,求Tn的表达式



例2. 5.(2009?辽宁,6)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=(  )
A.2 B.73 C.83 D.3

变式训练2. (2009?全国Ⅱ,13)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,S6=4S3,则a4=________.


例3. 已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.
变式训练3.已知等比数列{an}中,a1?a9=64,a3+a7=20,则a11=

例4(2009?陕西,21)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+an+12,n∈N*.
(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.



变式训练4在数列{an}中,a1=2,an+1=4 an-3n+1,n∈N*.
(1)证明数列{ an-n}是等比数列;
(2)求数列{ an }的前n项和Sn;


三、课后练习
1、(2009北京西城)若数列{an}是公比为4的等比数列,且a1=2,则数列{log2an}是(  ) A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列
C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列
2、(2009河南实验中学)设各项都为正数的等比数列{an}中,若第五项与第六项的积为81,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值是(  )A.5 B.10 C.20 D.40
3、(2009河南六市)设各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=(  )A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50
4.由正数组成的等比数列{an}中,a1=13,a2?a4=9,则a5=_____S3=______.
四、归纳小结
1.在等比数列的求和公式中,当公比q≠1时,适用公式Sn= ;当q=1时,适用公式Sn=na1;若q的范围未确定时,应对q=1和q≠1讨论求和.
2.在等比数列中,若公比q > 0且q≠1时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项.
3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数,一般是设为x-d,x,x+d, 再依题意列出方程求x、d即可.
4.a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.
音美班教学案4等差数列和等比数列的综合应用
一、基础知识
1.等差数列的常用性质:
⑴ m,n,p,r∈N*,若m+n=p+r,则有 .
⑵ {an}是等差数列, 则{akn} (k∈N*,k为常数)是 数列.
⑶ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成 数列.
2.在等差数列中,求Sn的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面的各项皆取负(正)值.
⑴ a1> 0,d <0时,解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值.
⑵ a1<0,d>0时,解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值.
3.等比数列的常用性质:
⑴ m,n,p,r∈N*,若m+n=p+r,则有 .
⑵ {an}是等比数列,则{a }、{ }是 数列.
⑶ 若Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成 数列.
二、典型例题
例1.已知等比数列{an},a2=8,a5=512.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.


例2.已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3,…).


变式训练1已知△ABC中,三内角A、B、C的度数成等差数列,边a、b、c依次成等比数列.求证:△ABC是等边三角形.


变式训练2.若互不相等的实数 、 、 成等差数列, 、 、 成等比数列,且 ,则 = ( )
A.4 B.2 C.-2 D.-4


例3. 数列{an}的前n项和Sn,且a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3……
求:⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通项公式;
⑵ a2+a4+a6+…+a2n的值.

三、课后练习
1、(2010?甘肃省会宁五中期中考试)等差数列{an}中,已知a5+a7=10,Sn是数列{an}的前n项和,则S11=(  )
A.45 B.50 C.55 D.60
2、若a、b、c是互不相等的实数,且a、b、c成等差数列,c、a、b成等比数列,则a?b?c等于(  )
A.(-2):?1:4 B.1:2:3 C.2:3:4 D.(-1):1:3
3、在△ABC中,tanA是第3项为-4,第7项为4的等差数列的公差,tanB是第3项为13,第6项为9的等比数列的公比,则△ABC是(  )
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
4、(2009?重庆,5)设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  )
A.n24+7n4 B.n23+5n3 C.n22+3n4 D.n2+n
5、(2010?广东湛江高三月考试题)设△ABC的三内角A、B、C成等差数列,sinA、sinB、sinC成等比数列,则这个三角形的形状为(  )
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
6 、(2009?浙江温州)已知等差数列{an}中,a3=7,a6=16,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:

则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________.
7(2009安徽卷理)已知 为等差数列, + + =105, =99,以 表示 的前 项和,则使得 达到最大值的 是( )
A.21 B.20 C.19 D. 18
8.已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,….
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项.



9 、(2009?辽宁,17)(本小题满分12分)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.


四、归纳小结
1.在三个数成等差(或等比)时,可用等差(或等比)中项公式;在三个以上的数成等差(或等比)时,可用性质:m、n、p、r∈N*,若m+n=p+r,则am+an=ap+ar(或am?an=ap?ar)进行解答.
2.若a、b、c成等差(或等比)数列,则有2b=a+c(或b2=ac).
3.在涉及an与Sn相关式子中用Sn-1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥2”这个特点.

音美班教学案5 数列求和
一、基础知识
求数列的前n项和,一般有下列几种方法:
1.等差数列的前n项和公式:Sn= = .
2.等比数列的前n项和公式:① 当q=1时,Sn= .
② 当q≠1时,Sn= .
3.倒序相加法:将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.
4.错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
5.裂项求和法:把一个数列分成几个可直接求和的数列.
二、典型例题
例1. 已知数列:1, , , ,…, ,求它的前n项的和Sn.

变式训练1.数列 前n项的和为 ( )
A. B. C. D.


例2. 求Sn=1+ + +…+ .



变式训练2:数列{an}的通项公式是an= ,若前n项之和为10,则项数n为( )
A.11 B.99 C.120 D.121

例3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn= ,bn=an?2n,求数列{bn}的前n项和Tn.


变式训练3.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.
⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式.
⑵ 设Cn= ,求数列{Cn}前n项和Tn .

三、课后练习
1.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为(  )
A.2n+n2-1  B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
2.数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和Sn>1020,那么n的最小值是(  )
A.7   B.8   C.9   D.10
3.(教材改编题)1-4+9-16+…+(-1)n+1n2等于(  )
A.n(n+1)2 B.-n(n+1)2 C.(-1)n+1n(n+1)2 D.以上答案均不对
4.给出集合序列{1},{2,3},{4,5,6},{7,8,9,10},…,设Sn是第n个集合中元素之和,则S21为(  )
A.1113 B.4641 C.5082 D.5336
5.(2009?黄冈综合测试){an}为等差数列,若a11a10<-1,且它的前n项和Sn有最小值,那么当Sn取得最小正值时,n=(  ) A.11  B.17 C.20  D.21
6.在正项等比数列{an}中,a3a7=4,则数列{log2an}的前9项之和为________.
7.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则a21+a22+…+a2n=__________.
8.(热点预测题)设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为________.
9.已知数列{an}满足a1=76,Sn是 {an}的前n项和,点(2Sn+an,Sn+1)在f(x)=12x+13的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若cn=(an-23)n,Tn为cn的前n项和,n∈N*,求Tn.


四、归纳小结
1.求和的基本思想是“转化”.其一是转化为等差、等比数列的求和,或者转化为求自然数的方幂和,从而可用基本求和公式;其二是消项,把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和.
2.对通项中含有(-1)n的数列,求前n项和时,应注意讨论n的奇偶性.
3.倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法,在复习中应给予重视.


音美班教学案6数列极限
一、基础知识
1、数列极限的定义:设 是一个无穷数列,A是一个常数,如果对于预先给定的任意小的正数ε,总存在正整数N,使得只要正整数n>N,就有 -A<ε,那么就说数列 以A为极限(或A是数列的极限),记作 =A。
2、数列极限的运算法则
如果 =A, =B,那么
(1) ( ± )= ± =A±B;(2) ( ? )= ? =A?B
(3) (4) (c? )= c? =cA(c为常数)
极限运算法则中的各个极限都应存在,都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到无限个。在商的运算法则中,要注意对式子的恒等变形,有些题目分母不能直接求极限。
3、特殊数列的极限
(1) C=C(C为常数)
(2) 0(a<1)
= 1(a=l
不存在(a>1或a=-1)
(3) =0(α>0的常数)
(4)
(当k= 时)
= 0(当k< 时
不存在(当k> 时)
二、典型例题
例1、求下列极限:
(1)limn→∞ (11×3+12×4+…+1n(n+2));
(2)limn→∞ 2n2+13n2+2n;
(3)limn→∞ (n2+3n-n2+4n)

变式练习(2008陕西卷13) ,则 .



例2、.(2009?东北四市一模)已知等差数列{an}的公差d>0且a2,a5满足a2+a5=12,a2a5=27,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-12bn(n∈N*)
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设Tn=b2+b4+b6+…+b2n,求limn→∞Tn.



三、课后练习
1.求limn→∞n[(1+1n)3-1]等于(  )A.3   B.0 C.13  D.7
2.若limn→∞ (2n2+1n+1-na+b)=2,则ab的值为(  )
A.4 B.0 C.-4 D.8
3.(2009?广西四市联考)若f(n)=13-232+133-134+…+132n-1-232n(其中n∈N*),则limn→∞g(n)=(  )
A.18    B.16   C.12   D.58
4.(2009?黄冈市高三年级2月质量检测)已知数列{an}满足:a1=13,且对任意正整数m、n都有am+n=aman,若数列{an}的前n项和为Sn,则limn→∞Sn等于(  )
A.12    B.23    C.32    D.2

5.等差数列{an}中,Sn是其前n项和,S20082008-S20062006=2,则limn→∞ Snn2的值为(  )
A.2    B.1    C.12    D.3
6.limn→∞ 2+3+…+n3n2-2n=____________.
7.(2009?陕西)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3,则limn→∞ Snn2=________.
8.(2009?湖北宜昌第二次调研)已知limn→∞ an+p?3n+can-3n=-5(115.已知数列{an},设Sn是数列的前n项和,并且满足a1=1,对任意正整数n,Sn+1=4an+2.
(1)令bn=an+1-2an(n=1,2,3,…),证明{bn}是等比数列,并求{bn}的通项公式;
(2)令cn=bn3,Tn为数列{1log2cn+2?log2cn+1}的前n项和,求limn→∞Tn.



四、归纳小结
1.运算法则必须是在{an}、{bn}的极限都“存在”的条件下使用.
2.数列极限运算法则必须在有限个(可以推广到有限多个)数列下使用,无限多个数列不成立.



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