海南省琼海市嘉积中学高三第一次月考文数试题

测试时间：120分钟 全卷满分150分
第Ⅰ卷
一、：（本大题共有12道小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.若偶函数 在 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4.函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5.设 表示 中的最小数， 表示 中的最大数，若 是任意不相等的两个实数， ，那么 （ ）
A. B. C. D.
6.设点 （ ）都在函数 （ 且 ）的图象上，则 与 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 与 的大小与 的取值情况有关
7.下面给出四个命题：
：“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”；
： 是假命题，则 都是假命题；
：“ ”的否定是“ ”；
：设集合 ， ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
其中为真命题的是（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8.设实数 是函数 的零点，则（ ）
A. B. C. D.
9.函数 的图象大致是（ ）

10.已知函数 与函数 互为反函数，且有 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 ，对于 ，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
12.定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则在 上关于 的函数 （ ）的所有的零点之和为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、题：（本大题共有4道小题，每小题5分）
13.已知幂函数 的图象经过点 ，则此函数的解析式表达式是 .
14.设 ，那么 的最小值是 .
15.已知命题 ，命题 ，若 是 的必要条件，则实数 的取值范围是 .
16.下面给出四个命题：
①函数 的零点在区间 内；
②若函数 满足 ， ，则 … ；
③“若 都是奇数，则 是偶数”的逆否命题是“若 不是偶数，则 都不是奇数”；
④“若 ，则函数 只有一个零点”的逆命题为真命题.
其中所有正确的命题序号是 .
三、解答题：（有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本题满分12分）设函数f(x)＝log2(ax－bx) 且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a、b的值；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．
18.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x＋1x＋2．
(1) 求f(x)的值域；
(2) 若g(x)＝f(x)•x＋ax，且g(x)在区间（0,1）及（1,2）上分别存在一个零点，
求实数a的取值范围．

19.（本题满分12分）已知函数f(x)＝(x＋2)x－2.
(1) 若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 解不等式f(x)>3x.

20.（本题满分12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

21.（本题满分12分）设函数 ，其中 ，区间 .
（1）求区间 的长度；（区间 的长度定义为 ）
（2）给定常数 ，当 时，求区间 长度的最小值.

四、选做题：
22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图， 是直角三角形， ，以 为直径的圆 交 于点 ，点 是 边的中点，连接 交圆 于点 .
（1）求证： 、 、 、 四点共圆；
（2）求证：

23.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以原点O为极点，以 轴正半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为 .
（1）写出曲线C的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线 的最大距离.

24.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
（1）已知 、 都是正实数，求证： ；
（2）设不等的两个正数 、 满足 ，求 的取值范围.

海南省琼海市嘉积中学高三第一次月考文数答案
一、：（每小题5分，共60分）
题号123456789101112
答案DACABCDBCACB
二、题：（每小题5分，共20分）
13、 14、 15、 16、②③
三、解答题：（有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本题满分12分）
17解：(1)由已知得log2a－b＝1，log2a2－b2＝log212.所以a－b＝2，a2－b2＝12.解得a＝4，b＝2.
(2)f(x)＝log2(4x－2x)＝log2[(2x－12)2－14]， 令u(x)＝(2x－12)2－14.
由复合函数的单调性知u(x)在[1,2]上为增函数，
所以u(x)ax＝(22－12)2－14＝12， 所以f(x)的最大值为log212＝2＋log23.
18.（本题满分12分）
18解：(1)当x>0时，f(x)＝x＋1x＋2≥ ，当且仅当x = 1x x = 1时，取“=”；
当x<0时，f(x)＝ ， -x>0 ， ，
， f(x) ≤ ，当且仅当x = - 1时，取“=”，
故f(x)的值域为 .
(2) g(x)＝x2＋（a+2）x＋1，当g(x)有一个零点在（0,1），另一个零点在（1,2）时 ，
有 ，故满足条件的a的取值范围 .
19.（本题满分12分）
19解：(1)当x∈[－3,1]时，f(x)＝(x＋2)x－2＝(x＋2)(2－x)＝－x2＋4.
∵－3≤x≤1，∴0≤x2≤9.于是－5≤－x2＋4≤4，
即函数f(x)在[－3,1]上的最大值等于4.
∴要使不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞)．
(2)不等式f(x)>3x，即(x＋2)x－2－3x>0.
当x≥2时，原不等式等价于x2－4－3x>0，解得x>4或x<－1. 又∵x≥2，∴x>4.
当x<2时，原不等式等价于4－x2－3x>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.满足x<2.
综上可知，原不等式的解集为{xx>4或－4<x<1}．
20.（本题满分12分）
20解：(1)当0＜x≤100时， p＝60；
当100＜x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.
∴p＝60，　　　　0＜x≤100，62－0.02x， 100＜x≤600.
(2) 设利润为y元，则当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；
当100＜x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.
∴y＝20x，　　　　0＜x≤100，22x－0.02x2， 100＜x≤600.
当0＜x≤100时 ，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；
当100＜x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.
显然6 050＞2 000. 所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
21.（本题满分12分）
21解：(1)
．
故区间 其长度为 ．
(2) 设 ，则 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
在 上 递增，在 上 递减．
故 的最小值只能在 或 处取得，
， ，
又 ，
， 从而 ，
∴ 时，当 ，区间 长度的最小值为 ．
22.（本题满分10分）
22.证明：（1）连接 、 ，则
又 是BC的中点，所以
又 ，
所以
所以
所以 、 、 、 四点共圆
（2）延长 交圆 于点
因为

所以
23.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
23.（1）曲线C： ，直线 ：
（2）

24.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
24.（1）证明：由

又 、 都是正实数，
所以 、 ，即
所以
（2）

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