模块综合素质检测题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷非两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知sinα＝－22，π2<α<3π2，则角α等于(　　)
A.π3　　　　　　　　　
B.2π3
C.4π3
D.5π4
[答案]　D
2．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若a＋b不超过5，则k的取值范围是(　　)
A．[－4,6]
B．[－6,4]
C．[－6,2]
D．[－2,6]
[答案]　C
[解析]　由a＋b≤5平方得a2＋2a•b＋b2≤25，
由题意得8＋2(－10＋2k)＋25＋k2≤25，
即k2＋4k－12≤0，(k＋6)(k－2)≤0，求得－6≤k≤2.故选C.
3．函数f(x)＝sinx＋cosx的最小正周期是(　　)
A.π4
B.π2
C．π
D．2π
[答案]　C
[解析]　由f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，而y＝2sin(x＋π4)的周期为2π，所以函数f(x)的周期为π，故选C.
[点评]　本题容易错选D，其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响．
4．a＝1，b＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)
A．30°　　　
B．60°　　　
C．120°　　　
D．150°
[答案]　C
[解析]　∵c⊥a，∴a•c＝0，∴a•(a＋b)＝0，
即a•b＝－a2，设a与b的夹角为θ，
∴cosθ＝a•ba•b＝－a2a•b＝－12，
∴θ＝120°.
5．函数y＝tan2x－π4的单调增区间是(　　)
A.kπ2－π8，kπ2＋3π8，k∈Z
B.kπ2＋π8，kπ2＋5π8，k∈Z
C.kπ－π8，kπ＋3π8，k∈Z
D.kπ＋π8，kπ＋5π8，k∈Z
[答案]　A
[解析]　∵kπ－π2<2x－π4<kπ＋π2，k∈Z，
∴kπ－π4<2x<kπ＋3π4，k∈Z.
∴kπ2－π8<x<kπ2＋3π8，k∈Z.
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为v个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A．(－2,4)
B．(－30,25)
C．(10，－5)
D．(5，－10)
[答案]　C
[解析]　设(－10,10)为A,5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则AA1→＝(x＋10，y－10)，由题意有AA1→＝5v.
所以(x＋10，y－10)＝(20，－15)
⇒x＋10＝20y－10＝－15⇒x＝10y＝－5所以选C.
7．函数y＝sin2x＋π6＋cos2x＋π3的最小正周期和最大值分别为(　　)
A．π，1
B．π，2
C．2π，1
D．2π，2
[答案]　A
[解析]　y＝sin2xcosπ6＋cos2x•sinπ6＋cos2xcosπ3－sin2xsinπ3
＝32sin2x＋12cos2x＋12cos2x－32sin2x
＝cos2x，
∴函数的最小正周期为π，最大值为1.
8．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
[答案]　D
[解析]　设d＝(x，y)，由题意4a＝(4，－12),4b－2c＝(－6,20),2(a－c)＝(4，－2)．又表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，
∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，即(4，－12)＋(－6，20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，求得向量d＝(－2，－6)．
9．若sinα＋cosα＝tanα0<α<π2，则角α所在区间是(　　)
A.0，π6
B.π6，π4
C.π4，π3
D.π3，π2
[答案]　C
[解析]　tanα＝sinα＋cosα＝2sin(α＋π4)，
∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.
∴22<sin(α＋π4)≤1.
∴1<tanα≤2<3.
∴π4<α<π3，即α∈(π4，π3)．故选C.
10．若向量i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋j，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是(　　)
A.12，＋∞
B．(－∞，－2)∪－2，12
C.－2，23∪23，＋∞
D.－∞，12
[答案]　B
[解析]　由条件知a＝(1，－2)，b＝(1，)，
∵a与b的夹角为锐角，
∴a•b＝1－2>0，∴<12.
又a与b夹角为0°时，＝－2，∴≠－2.
[点评]　两个向量夹角为锐角则数量积为正值，夹角为钝角则数量积为负值，是常用的结论．
11．已知函数F(x)＝sinx＋f(x)在－π4，3π4上单调递增，则f(x)可以是(　　)
A．1
B．cosx
C．sinx
D．－cosx
[答案]　D
[解析]　当f(x)＝1时，F(x)＝sinx＋1；当f(x)＝sinx时，F(x)＝2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是－π2，π2，在－π4，3π4上不单调；对B选项，当f(x)＝cosx时，F(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4的一个增区间是－3π4，π4，在－π4，3π4上不单调；D选项是正确的．
12．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
[答案]　B
[解析]　∵C＝π－(A＋B)，∴sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sin(A＋B)．∴sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.∴A－B＝kπ(k∈Z)．又A、B为三角形的内角，∴A－B＝0.∴A＝B.则三角形为等腰三角形．
[点评]　解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件．
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝cos2x＋sinxcosx的最小正周期T＝________.
[答案]　π
[解析]　y＝cos2x＋sinxcosx＝cos2x＋12sin2x
＝52sin(2x＋φ)，
∴函数f(x)的周期T＝2π2＝π.
14．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
[答案]　1
[解析]　∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，
∵α、β为锐角，∴cosα≠0，cosβ≠0，
上式两边同除以cosαcosβ得
1－tanαtanβ＝tanα－tanβ，
即tanα－tanβ＋tanαtanβ－1＝0，
∴(1＋tanβ)(tanα－1)＝0，
∵β为锐角，∴tanβ＞0，
∴1＋tanβ≠0，∴tanα－1＝0即tanα＝1.
15．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH→＝(OA→＋OB→＋OC→)，则实数＝________.
[答案]　1
[解析]　由于本题是题，所以可以令三角形ABC为等腰三角形，其中角C＝90°，则两直角边的高的交点为C，即C与H重合．而O为斜边AB的中点，所以OA→与OB→为相反向量，所以有OA→＋OB→＝0，于是OH→＝OC→，而C与H重合，所以＝1.
16．函数f(x)＝3sin2x－π3的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图象C关于直线x＝11π12对称；
②图象C关于点2π3，0对称；
③函数f(x)在区间－π12，5π12内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.
[答案]　①②③
[解析]　f11π12＝3sin3π2＝－3，①正确；
f2π3＝3sinπ＝0，②正确；
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z得，
kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，
∴f(x)的增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)，
令k＝0得增区间为－π12，5π12，③正确；
由y＝3sin2x的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C，④错误．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设函数f(x)＝a•b，其中向量a＝(，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且函数y＝f(x)的图象经过点π4，2.
(1)求实数的值；
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．
[解析]　(1)f(x)＝a•b＝(1＋sin2x)＋cos2x，
由已知fπ4＝1＋sinπ2＋cosπ2＝2，得＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x
＝1＋2sin2x＋π4，
∴当sin2x＋π4＝－1时，f(x)取得最小值1－2，
由sin2x＋π4＝－1得，2x＋π4＝2kπ－π2，
即x＝kπ－3π8(k∈Z)
所以f(x)取得最小值时，x值的集合为
xx＝kπ－3π8，k∈Z.
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝1－2sin2x－π4cosx.
(1)求f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－43，求f(α)的值．
[解析]　(1)由cosx≠0得x≠kπ＋π2(k∈Z)，
故f(x)的定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)因为tanα＝－43，且α是第四象限的角，
所以sinα＝－45，cosα＝35，
故f(α)＝1－2sin2α－π4cosα
＝1－222sin2α－22cos2αcosα
＝1－sin2α＋cos2αcosα＝2cos2α－2sinαcosαcosα
＝2(cosα－sinα)＝145.
19．(本题满分12分)(08•陕西文)已知函数f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2.
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
(2)令g(x)＝fx＋π3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
[解析]　(1)∵f(x)＝sinx2＋3cosx2
＝2sinx2＋π3，
∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.
当sinx2＋π3＝－1时，f(x)取得最小值－2；
当sinx2＋π3＝1时，f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)＝2sinx2＋π3，
又g(x)＝fx＋π3，
∴g(x)＝2sin12x＋π3＋π3
＝2sinx2＋π2＝2cosx2.
∵g(－x)＝2cos－x2＝2cosx2＝g(x)，且定义域为R，∴函数g(x)是偶函数．
20．(本题满分12分)已知sin(45°＋α)sin(45°－α)＝－14，0°<α<90°.
(1)求α的值；
(2)求sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]的值．
[解析]　(1)∵sin(45°＋α)sin(45°－α)＝sin(45°＋α)cos(45°＋α)
＝12sin(90°＋2α)＝12cos2α，
∴12cos2α＝－14.即cos2α＝－12.
∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，
∴2α＝120°，α＝60°.
(2)sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]
＝sin70°(1－3tan50°)＝sin70°•cos50°－3sin50°cos50°
＝2sin70°cos50°12cos50°－32sin50°
＝2sin70°cos110°cos50°＝－2sin70°sin20°cos50°
＝－2cos20°sin20°cos50°＝－sin40°cos50°＝－1.
21．(本题满分12分)(2010•江西文，19)已知函数f(x)＝(1＋1tanx)sin2x－2sin(x＋π4)sin(x－π4)．
(1)若tanα＝2，求f(α)；
(2)若x∈[π12，π2]，求f(x)的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝sinx＋cosxsinx•sin2x－2(22sinx＋22cosx)(22sinx－22cosx)
＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x
∴f(α)＝cos2α＋sinαcosα1
＝cos2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋tanαtan2α＋1＝35.
(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx
＝1＋cos2x2＋sin2x2＝22sin(2x＋π4)＋12，
∵π12≤x≤π2⇒5π12≤2x＋π4≤5π4⇒－22≤sin(2x＋π4)≤1⇒0≤f(x)≤2＋12，∴f(x)∈[0，2＋12]．
22．(本题满分14分)设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α＜360°)，b＝(－12，32)．
(1)试证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当两个向量3a＋b与a－3b的模相等时，求角α.
[解析]　(1)(a＋b)•(a－b)＝(cosα－12，sinα＋32)•(cosα＋12，sinα－32)
＝(cosα－12)(cosα＋12)＋(sinα＋32)(sinα－32)
＝cos2α－14＋sin2α－34＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由a＝1，b＝1，且3a＋b＝a－3b，平方得(3a＋b)2＝(a－3b)2，整理得2a2－2b2＋43ab＝0①.
∵a＝1，b＝1，∴①式化简得a•b＝0，
a•b＝(cosα，sinα)•(－12，32)＝－12cosα＋32sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.
∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°.
[点评]　(1)问可由a＝1，b＝1得，(a＋b)•(a－b)＝a2－b2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．


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