对数函数的概念

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  真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,
  底数则要大于0且不为1
  对数函数的底数为什么要大于0且不为1?
  【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是,根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一个等于4,另一个等于-4)】
  通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828???为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
  当a 〉0,a≠ 1时,a^x=N→X=logaN。
  由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:
  负数和零没有对数
  loga 1=0 loga a=1(a为常数)
编辑本段对数的定义和运算性质
  一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
  底数则要>0且≠1 真数>0
对数的运算性质
  当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:
  (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
  (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
  (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)
  (4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R)
  (5)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)
  (6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明:
  设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x?log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)
  (7)对数恒等式:a^log(a)N=N;
  log(a)a^b=b
  (8)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)
  1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
  2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
  3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
  4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,
  log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M
  5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
对数与指数之间的关系
  当a>0且a≠1时,a^x=N x=?(a)N
编辑本段对数函数
  右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
  可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
  (1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
  (2) 对数函数的值域为全部实数集合。
  (3) 函数图像总是通过(1,0)点。
  (4) a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。
  (5) 显然对数函数无界。
  对数函数的常用简略表达方式:
  (1)log(a)(b)=log(a)(b)
  (2)lg(b)=log(10)(b)
  (3)ln(b)=log(e)(b)
  对数函数的运算性质:
  如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么:
  (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
  (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
  (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n属于R)
  (4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R)
  对数与指数之间的关系
  当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x
  log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R)
  换底公式 (很重要)
  log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga
  ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(约为2.718281828454590)
  lg 常用对数 以10为底
编辑本段常用简略表达方式
  (1)常用对数:lg(b)=log(10)(b)
  (2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)
  e=2.718281828454590... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
  对数函数的一般形式为 y=?(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),同样适用于对数函数。
  右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
  可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
编辑本段性质
  定义域求解:对数函数y=loga x 的定义域是{x ?x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1} 。
  {2x-1>0 ,x>1/2且x≠1},即其定义域为 {x ?x>1/2且x≠1}值域:实数集R
  定点:函数图像恒过定点(1,0)。
  单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸
  

0  奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。
  周期性:不是周期函数
  零点:x=1
  注意:负数和0没有对数。
  两句经典话:底真同对数正
  底真异对数负
  指数函数的求导:

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