一. 教学内容：分类计数原理与分步计数原理、排列

二. 教学重、难点：

1. 分类计数原理，分步计数原理

2.

【典型例题

[例1] 有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码。

（1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？

（2）从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？

解：

（1）任取一个小球的方法可分三类，一类取红球，有20种取法；一类取白球，有15种取法；一类取黄球，有8种取法。由分类计数原理共有20 15 8=43种不同取法。

（2）取三色小球各一个，可分三步完成，先取红球。有20种取法；再取白球，有15种取法；最后取黄球，有8种取法。由分步计数原理，共有 种不同的取法。

[例2] 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

解：分析个位数字，可分以下几类：

个位是9，则十位可以是1，2，3，……，8中的一个，故有8个；

个位是8，则十位可以是1，2，3，……，7中的一个，故有7个；

与上同样。

个位是7的有6个；

个位是6的有5个；

……

个位是2的只有1个。

由分类计数原理知，满足条件的两位数有 （个）

[例3] 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为多少？

解：沿12?D5?D3路线传递的信息最大量为3（单位时间内），沿12?D6?D4路线传递信息的最大量为4……由于以上每个线路均能独立完成这件事（传递信息），故单位时间内传递的最大信息量为3 4 6 6=19。

[例4] 用6种不同的颜色对下图中5个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

解：分五步进行，第一步给5号域涂色有6种方法

第二步给4号涂有5种方法

第三步给1号涂有5种方法

第四步给2号涂有4种方法

第五步给3号涂有4种方法

根据分步计数原理，共有 值

（1） ；（3） 。

解：（1）由排列数公式，

得

整理得 或 （舍去） ∴

解得

（3）由排列数公式，得 ∴ ；

（2）

∴

（3）∵

[例7] 由0，1，2，3，4，5共六个数字可组成多少个没有重复数字且能被5整除的六位数？

解：组成的六位数与顺序有关，但首位不能排0，个位必须排0或5，因此分两类：第一类：个位必须排0，此时前五位数由1，2，3，4，5共五个数字组成，这五个数字的每一个排列对应一个六位数，故此时有 个六位数。第二类：个位数排5，此时为完成这件事（构造出六位数）还应分两步，第一步排首位，有4种排法，第二步排中间四位，有 个。

[例8] 用0，1，2，3，4五个数字组成的无重复数字的五位数中，其依次从小到大的排列。

（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？

解：（1）1、2是首数时各组成 个；2在万位，0、1在千位的共有 个，还有23104比23140小，故23140是第 种方法，然后让剩下的5个人（其中包括甲）站在中间的5个位置，有 种站法。

方法二：因为甲不在两端，分两步排队，首先排甲，有 种方法，第二步让其他6人站在其他6个位置上，有 种方法，第二步让甲插入这6个人之间的空当中，有 种，故共有 种站法。

方法四：在排队时，对7个人，不考虑甲的站法要求任意排列，有 种方法，因此共有 种排法，再考虑其余5个元素的排法有 种。

方法二：甲、乙两人不能站在两端，应包括同时不在两端，某一人在两端，故用排异法，应减去两种情况，同时在两端，有 种不同站法。

（3）分三步：第一步，从甲、乙以外的5个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有 种方法，第三步，对甲、乙进行全排列，故共有 种不同站法。

（4）方法一：男生站在前4个位置上有 种站法，男女生站成一排是分两步完成的，因此这种站法共有 种站法，这两种站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 种排法，然后排四名男生，有 种排法，根据分步计数原理，将四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 种排法，在四名男生间的三个间隔共有三个位置安排三名女生，有 种排法符合要求，故四名男生三名女生相间排列的排法共有 种。

（6）在7个位置上任意排列7名学生，有排法 中每一种情况均以 种。

[例10] 某班开设的课程有语文、数学、英语、政治、物理、化学、生物、体育共8门。若星期一上午排4节不同的课，并且规定体育课不能排在第一节及第四节，那么星期一上午该班的课程表有多少种不同的排法？

解：若不排体育课，则有 ，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 高中物理 5个

2. 书架上、下两层分别放有5本不同的数学书和4本不同的语文书，从中选两本数学书和一本语文书，则不同的选法有 种（ ）

A. 9 B. 13 C. 24 D. 40

3. 不等式 B. 或 或

4. 已知 的值为（ ）

A. 7 B. 2 C. 6 D. 8

5. 2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有（ ）

A. 种

C. 种

6. 27位女同学排队照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，则所有不同的排法种数为（ ）

A.

C.

二. 解答题

1. （1）某教学楼有三个不同的楼梯，4名学生要下楼，共有多少种不同的下楼方法？（2）有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有多少种可能？

2. 现有高一年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组。

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

3. 解下列各式中的 值。

（1） （2）

【试题答案】

一. 选择题

1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C

二. 解答题

1. 解：

（1）4名学生分别下楼，即问题分4步完成。每名学生都有3种不同的下楼方法，根据分步计数原理，不同的下楼方法共有 种。

（2）确定3项冠军人选可逐项完成，即分3步，第1项冠军人选有4种可能，第2项与第3项也均有4种可能，根据分步计数原理：冠军获得者共有 （种）

（2）分四步，易知不同的选法总数

（种）

（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有 种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有 种不同选法；从一、四班学生中各选1人，有 种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有 种不同的选法，所以共有不同的选法数

∴

∴ （舍）

（2）

∴ （舍）

4. 解：

（1）先排乙有2种方法，再排其余5位同学有 种排法。

（4） 种排法。

（5） 种排法。

（6）7个学生的所有排列中，3名女生交换顺序得到的排列只对应一个符合题意的排队方式，故共有 种排法。

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