天津市第四十二中学 张鼎言

　　假设ak>α，由上面的递推式，用比较法：

　　ak+1-α=--α

　　=-

　　=-

　　而α是方程x2+x-1=0的根，

　　∴ak+1-α=->0

　　∴ak+1>α

　　由上数学归纳法可证an>α

　　分析(3)由(2)an>α，又an>α>β

　　∴an>β

　　bn=ln-有意义，同理an-β=-(n≥2)

　　bn=ln-

　　=2ln-=2bn-1

　　b1=ln-=2ln-

　　=2ln-

　　=4ln-

　　Sn=-

　　=b1g(2n-1)

　　=(2n+2-4)gln-

　　注：本题的关键是第(2)问，通过an+1-α，不等式比较法，建立了递推关系。

　　7. 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=-，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…

　　(Ⅰ)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n2)，并求Sn关于n的表达式；

　　(Ⅱ)设fn(x)=-xn+1，bn=fn1(p)(p∈R)，求数列{bn}的前n项和Tn。

　　解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，(n2)。

　　(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)

　　两边同除以n(n-1)，

　　-Sn=-Sn-1+1

　　设cn=-Sn，

　　cn=cn-1+1，

　　由S1=a1=-，c1=1

　　∴cn=1+(n-1)=n

　　Sn=-

　　(Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1，f'n(x)=nxn

　　bn=npn

　　设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)

　　当p=0时，Tn=0

　　p=1时，

　　Tn=1+2+…+n=-n(n+1)

　　pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)

　　(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1

　　∴Tn=---，(p≠0， p≠1)

　　注：在递推关系中，设cn是关键，从Sn-1→Sn与-→-是同样的递推。在递推中着眼点是关于n的结构上的一致性。

　　8. 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3，…

　　(Ⅰ)求a1,a2；

　　(Ⅱ)求{an}的通项公式

　　(Ⅰ)n=1，a1=S1，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=-；

　　n=2，S2=a1+a2=-+a2，

　　S2-1=a2--，

　　代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0，a2=-，S2=-+-=-；

　　(Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0，

　　(Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0，Sn?Sn-1-2Sn+1=0

　　以上是把an转化成Sn，理由是把Sn转换成an走不通，实际上求出Sn，an也可求出。

　　由S1=-，S2=-，进一步可求出S3=-，猜想Sn=-，用数字归纳法n=2时命题成立，假定Sk=-，

　　由关于Sn的递推式，

　　Sk+1=-=-=-，

　　∴Sn=-，an=-

　　注：由递推公式求通项，从特殊到一般，先求出n=1，2，3，…归纳假设提出猜想，再去证明猜想。

　　9. 已知函数f(x)=x-sinx，数列{an}满足：0

　　证明(Ⅰ)0

　　(Ⅱ)an+1<-an3

　　证明(Ⅰ)由已知an+1=f(an)，是以函数形式给出的递推关系，-，

　　先用数学归纳法证明：0

　　n=1由已知0

　　考虑函数f(x)=x-sinx，f'(x)=1-cosx，

　　∵0

　　∴f'(x)>0，f(x)↑

　　f(x)在[0，1]上连续

　　∴f(0)

　　∴0

　　又∵an+1=f(an)=an-sinan，00，

　　∴an-an+1=sinan>0

　　∴0

　　(Ⅱ)要证an+1<-an3，需证-an3-an+1>0，构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0

　　g'(x)=-x2-1+cosx

　　=-x2-2sin2-

　　=2[(-)2-(sin-)2]

　　当0<-<-时，用单位圆易证->sin->0

　　∴g'(x)>0,g(x)↑0

　　∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0

　　-an3>an-sinan=an-1

　　注：本题是以函数形式确定递推关系，把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。

本文来自：逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.com/xuexi/238676.html

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