§2.3 刹车距离与二次函数
学习目标:
1.经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验.
2.会作出y=ax2和y=ax2+c的图象,并能比较它们与y=x2的异同,理解a与c对二次函数图象的影响.
3.能说出y=ax2+c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型.
学习重点:[
二次函数y=ax2、y=ax2+c的图象和性质,因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的基础.我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小值)、函数的增减性几个方面记忆分析.
学习难点:
由函数图象概括出y=ax2、y=ax2+c的性质.函数图象都由(1)列表,(2)描点、连线三步完成.我们可根据函数图象来联想函数性质,由性质来分析函数图象的形状和位置.
学习方法:
类比学习法。
学习过程:
一、复习:
二次函数y=x2 与y=-x2的性质:
抛物线y=x2y=-x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值[
二、问题引入:
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗?
刹车距离与什么因素有关?
有研究表明:汽车在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式:
晴天时: ;雨天时: ,请分别画出这两个函数的图像:
三、动手操作、探究:
1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。
2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。
比较它们的性质,你可以得到什么结论?
四、例题:[
【例1】已知抛物线y=(m+1)x 开口向下,求m的值.
【例2】k为何值时,y=(k+2)x 是关于x的二次函数?
【例3】在同一坐标系中,作出函数①y=-3x2,②y=3x2,③y= x2,④y=- x2的图象,并根据图象回答问题:(1)当x=2时,y= x2比y=3x2大(或小)多少?(2)当x=-2时,y=- x2比y=-3x2大(或小)多少?
【例4】已知直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B两点,且A点坐标为(-3,m).
(1)求a、m的值;
(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标;
(3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小;
(4)求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积.
【例5】有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的表达式;(2)在正常水位的基础上,当水位上升h(m)时,桥下水面的宽度为d(m),求出将d表示为k的函数表达式;(3)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.
五、课后练习
1.抛物线y=-4x2-4的开口向 ,当x= 时,y有最 值,y= .
2.当m= 时,y=(m-1)x -3m是关于x的二次函数.
3.抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x= ,y= .
4.当m= 时,抛物线y=(m+1)x +9开口向下,对称轴是 .在对称轴左侧,y随x的增大而 ;在对称轴右侧,y随x的增大而 .
5.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k= ,b= .
6.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为.
7.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是( )
A.y= x2B.y=- x2C.y=-2x2D.y=-x2
8.抛物线,y=4x2,y=-2x2的图象,开口最大的是( )
A.y= x2B.y=4x2C.y=-2x2D.无法确定
9.对于抛物线y= x2和y=- x2在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是( )
A.两条抛物线关于x轴对称B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称D.两条抛物线的交点为原点
10.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的图象大致为( )
11.已知函数y=ax2的图象与直线y=-x+4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同,则a的值为( )
A.4B.2C. D.
12.求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式:
(1)y=ax2经过(1,2);
(2)y=ax2与y= x2的开口大小相等,开口方向相反;
(3)y=ax2与直线y= x+3交于点(2,m).
13.如图,直线ι经过A(3,0),B(0,3)两点,且与二次函数y=x2+1的图象,在第一象限内相交于点C.求:
(1)△AOC的面积;
(2)二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积.
14.自由落体运动是由于地球引力的作用造成的,在地球上,物体自由下落的时间t(s)和下落的距离h(m)的关系是h=4.9t 2.求:
(1)一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离;
(2)计算物体下落10m,所需的时间.(精确到0.1s)
15.有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20m.水位上升3m,就达到警戒线CD,这时,水面宽度为10m.
(1)在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式;
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶?
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