2018-2019学年湖南省长沙市宁乡县八年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A．  B．  
C．  D．
2．（3分）小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（　　）的木条．
A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm
3．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．（3分）正n边形的内角和等于1080°，则n的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（3分）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．100°或40°
6．（3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
 
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
7．（3分）以下叙述中不正确的是（　　）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
8．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E．如果AC=5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为（　　）
 
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
9．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
　
二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）
10．（3分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是　   　．
 
11．（3分）计算：a•a3=　   　．
12．（3分）点A（2，?1）关于x轴对称的点的坐标 是　   　．
13．（3分）在△ABC中，∠A=34°，∠B=72°，则与∠C相邻的外角为　   　．
14．（3分）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是　   　．
15．（3分）如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=D F，∠F=20°，则∠B的度数为　   　．
 
16．（3分）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是　   　（填出一个即可）．
 
17．（3分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为　   　．
18．（3分）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于　   　．
 
　
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．
 
20．（8分）如图，已知：点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BF=EC，AB∥DE． 求证：AB=DE．
 
21．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE．
（1）求∠B的度数．
（2）如果AC=3cm，CD=2cm，求△ABD的面积．
 
22．（8分）a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．
 
23．（8分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．
求证：OC=OD．
 
24．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（?2，2），点B（?3， ?1），点C（?1，1）．
（1）画出△ABC关 于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）求出△A1B1C1的面积．
 
25．（10分）如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于点G，
求证：AD垂直平分EF．
 
26．（8分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直线AB上取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．
（1）如图1，若点M在 线段AB边上时，求∠AFM的度数；
（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB=15°，求∠AFM的度数．
 
　
 

2018-2019学年湖南省长沙市宁乡县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
　
2．（3分）小芳有两根长度为4cm和9c m的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（　　）的木条．
A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm
【解答】解：对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；
对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；
对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；
对D，∵4+9＞12，12?9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确；
故选：D．
　
3．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选：B．
　
4．（3分）正n边形的内角和等于1080°，则n的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：由题意可得：
（n?2）×180°=1080°，
解得n=8．
故选：B．
　
5．（3分）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．100°或40°
【解答】解：∵等腰三角形的底角为40°，
∴另一底角也为40°，
∴顶角为180°?40°?40°=100°．
故选：C．
　
6．（3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
 
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B 、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
　
7．（3分）以下叙述中不正确的是（　　）
A．等边三角形 的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C ．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
【解答】解：A，正确，符合等边三角形三线合一性质；
B，正确，符合等边三角形的判定；
C，不正确，也可能是钝角或等腰直角三角形；
D，正确，符合等边对等角及等角对等边的性质．
故选：C．
　
8．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E．如果AC=5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为（　　）
 
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
【解答】解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+CD=BC=17?5=12（cm）．
故选：C．
　
9．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：B．
　
二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）
10．（3分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是　利用三角形的稳定性　．
 
【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
　
11．（3分）计算：a•a3=　a4　．
【解答】解：a3•a，
=a3+1，
=a4．
故答案为：a4．
　
12．（3分）点A（2，?1）关于x轴对称的点的坐标是　（2，1）　．
【解答】解：点A（2，?1）关于x轴对称的点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
　
13．（3分）在△ABC中，∠A=34°，∠B=72°，则与∠C相邻的外角为　106°　．
【解答】解：如图：
∵∠1=∠A+∠B，∠A=34°，∠B=72°，
∴∠1=34°+72°=106°，
故答案为：106°．
 
　
14．（3分）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是　9　．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°?140°=40°，
360°÷40°=9．
故答案为：9．
　
15．（3分）如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为　40°　．
 
【解答】解：∵DE=DF，∠F=20°，
∴∠E=∠F=20°，
∴∠CDF=∠E+∠F=40°，
∵AB∥CE，
∴∠B=∠CDF=40°，
故答案为：40°．
　
16．（3分）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是　AB=CD（答案不唯一）　（填出一个即可）．
 
【解答】解：AB=CD，
理由是：∵在△AOB和△DOC中
 
∴△AOB≌△DOC（AAS），
故答案为：AB=CD（答案不唯一）．
　
17．（3分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为　120°　．
【解答】解：∵α=20°，
∴β=2α=40°，
∴最大内角的度数=180°?20°?40°=120°．
故答案为：120°．
　
18．（3分）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于　4　．
 
【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD =15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG= DE=4，
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
 
　
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．
 
【解答】证明：∵AF=DC，
∴AF?CF=DC?CF，
即AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
 ，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
　
20．（8分）如图，已知：点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BF=EC，AB∥DE． 求证：AB=DE．
 
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠E=∠B，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
∴AB=DE．
　
21．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE．
（1）求∠B的度数．
（2）如果AC=3cm，CD=2cm，求△ABD的面积．
 
【解答】解：（1）∵DE⊥AB且AE=BE，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAC，
∴∠B=∠DAE=∠DAC，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠DAE+∠DAC=90°，
∴∠B=30°；
（2）∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
在Rt△ACD与Rt△AED中， ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=BE，
∴AB=2AE=2×3=6，
∴S△ABD= AB•DE= ×6×2=6cm2．
　
22．（8分）a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．
 
【解答】解：点O或点O′就是所求的点．

　
23．（8分）如图，已知AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．
求证：OC=OD．
 
【解答】证明：
∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，∠B =∠D，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∴∠C=∠D，
∴OC=OD．
　
24．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（?2，2），点B（?3，?1），点C（?1，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）求出△A1B1C1的面积．
 
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（2，2）；
 

（ 2）△A1B1C1的面积为：2×3? ×1×1? ×2×2? ×1×3=2
　
25．（10分）如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于点G，
求证：AD垂直平分EF．
 
【解答】证明；∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，
 ，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
又∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
即AD垂直平分EF．
　
26．（8分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直线AB上取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．
（1）如图1，若点M在线段AB边上时，求∠AFM的度数；
（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB= 15°，求∠AFM的度数．
 
【解答】解：（1）连接EM．
∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．
在△AEM与△BMC中，
 ，
∴△AEM≌△BMC（SAS）．
∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠BMC+∠AME=90．
∴∠EMC=90°．
∴△EMC是等腰直角三角形．
∴∠MCE=45°
∵AN∥CE，
∴∠AFM=∠MCE=45°；

解：（2）如图2，连接ME．
同（1）△AEM≌△BMC（SAS），则EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．
又∵∠MEA+∠EMA=90°，
∴∠EMC=60°，
∴△EMC是等边三角形，
∴∠ECM=60°，
∵AN∥CE
∴∠AFM+∠ECM=180°，
∴∠AFM=120°．
 

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