分式的概念、性质及运算

编辑: 逍遥路 关键词: 八年级 来源: 高中学习网
从整式到分式,我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”.在脚手架上活动,无疑增加了难点,体现在:解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的,因此必须考虑字母取值范围;分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作,需要灵活处理.
分式的运算与分数的运算相似,是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础,是以整式的变形、因式分解为工具.分式的加减运算是分式运算的难点,突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分,常用通分的策略与技巧有:
1.化整为零,分组通分;
2,步步为营,分步通分;
3.减轻负担,先约分再通分;
4.裂项相消后通分等
例题求解
【例1】 要使分式 有意义,则 的取值范围是 .

(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 当分式的分母不为零时,分式有意义,由于分式是繁分式,因此考虑问题应细致周密.
注:在新事物面前,人们往往习惯于把它 们与原有的、熟知的事物相比,这里蕴涵的思想方法就是类比.
学习分式时,应注意:
(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比;
(2)整数可以看做是分数的特殊情形,但整式却不是分式的特殊情形;
(3)分式需要讨论宇母的取值范围,这是分式区别于整式的关键所在.
【例2】 已知 ,其中A、B为常数,则4A-B的值为( )
A.7 B.9 C.13 D.5
(江苏省竞赛题)
思路点拨 对等式右边通分,比较分子的对应项系数求出A、B的值.
【例3】计算下列各式:
(1) ;
(2) ; ( “五羊杯”竞赛题)
(3) (江西省赣州市竞赛题)
(4)
(安徽省马鞍山市竞赛题)
思路点拨 因各分式复杂,故须观察各式中分母的特点,恰当运用通分的相关策略与技巧.对于(1),分步通分;对于(2),拆项再通分;对于(3),先约分再通分;(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系,如x-2y+z=(x-y)-(y-z),采用换元法简化式子.
【例4】 解下列分式方程(组):
(1) ; (“五羊杯”竞赛题)
(2) (“希望杯”邀请赛题)
思路点拨 若直接通分去分母,则使问属复杂化,对于(1)拆分、分步运算,对于(2)取倒数,逆用加法法则.
【例5】 (1)n为自然数,若n+6n3+1996,则称n为1996的吉祥数,如4+643+1996,4就是1996年 的一个吉祥数.试求1996年的所有吉祥数的和.
( 北京市竞赛题)
(2)计算:
(上海市“宇振杯”竞赛题)
思路点拔 (1)由于n3+1996的次数高于n+6的次数,所以,通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决,是解本例的关键;(2)首 尾配对,考查一般情形,把数值计算转化为分式的运算.
学力训练
1.( 1)要使分式 没有意义,则a的值为 .
(2)若 和 互为相反数,则 的值为
. (岳阳市中考题)
2.已知 为整数,且 为整数,则所有符合条件的x值的和为 .
3.已知 与 的和等于 ,则 = , = .
(山东省竞赛题)
4.学校用一笔钱买奖品,若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品,则可买60份奖品;若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品,则可买50份奖品.那么,这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝. (江苏省镇江市中考题)
5.已知式子 的值为0,则x的值为( )
A.±1 B.-l C.8 D.-1或8
(江苏省竞赛题)
6.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
(大连市“育英杯”竞赛题)
7.若x取整数,则使分式 的值为整数的x值有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
(江苏省竞赛题)
8.若a、b、c满足a+b+c=0,abc=8,则 的值是( )
A.正数 B.负数 C.零 D.正数或负数
(“希望杯”邀请赛试题)
9.计算下列各题:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
10.(1)火车长为400米,通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分 钟,若每分钟速度增加0.1千米 ,则只需9分钟.求隧道长.(大原市竞赛题)
(2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米,两次的大米价格分别为每斤。元和6
元,甲每次买100斤大米,乙每次买100元的大米,问谁两次买的大米平均
价格更低些?说明理由.
(福州市中考题)
ll.若x+y+z=3a(a≠O),则 的值为 .
12.若关于x的方程 的解为正数,则a的取值范围是 .
(湖北省选拔赛试题)
13.方程4x2一2xy-12x+5y+11=O有 组正整数解.
( “五羊杯”竞赛题)
l4.已知 是正整数,则正整数a= .
( “希望杯”邀请赛试题)
15.设a、b、c均为正数,若 ,则a、b、c三个数的大小关系是( )
A.c16.已知 ,则 为( )
A.-1 B.1 C. 2 D.不能确定
(江苏省竞赛题)
17.分式 可取的最小值为( )
A.4 B.5 C. 6 D.不存在
18.设有理数a、b、c都不为零,且a+b+c=0,则 的值是( )
A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定
19.解下列方程(组):
(1)
(2) (太原市竞赛题)
20.(1)某工程,甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍,乙队独做所需天数是甲,丙两队合做所需天数的b倍,丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍,求 的值. (江苏省竞赛题)
(2)已知A= ,B= ,试比较A与B的大小 .

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