2018年鄂州市五校中考数学一模试卷(含答案和解释)

编辑: 逍遥路 关键词: 九年级 来源: 高中学习网


2018年湖北省鄂州市五校中考数学一模试卷
 
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)4的平方根是(  )
A.2 B.?2 C.±2 D.±
2.(3分)李阳同学在“百度”搜索引擎中输入“魅力襄阳”,能搜索到与之相关的结果个数约为236 000,这 个数用科学记数法表示为(  )
A.2.36×103 B.236×103 C.2.36×105 D.2.36×106
3.(3分)下列计算正确的是(  )
A.a3?a=a2 B.(?2a)2=4a2 C.x3•x?2=x?6 D.x6÷x2=x 3
4.(3分)下面几何体中,其主视图与俯视图相同的是(  )
A.  B.  C.  D.
5.(3分)若关于x的不等式组 有实数解,则a的取值范围是(  )
A.a<4 B.a≤4 C.a>4 D.a≥4
6.(3分)如图,已知直线a∥b,△ABC的顶点B在直线b上,∠C=90°,∠1=36°,则∠2的度数是(  )
 
A.54° B.44° C.36 ° D.64°
7.(3分)如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动,设运动时间为t(s),△OEF的面积为s(cm2),则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为(  )
 
A.  B.  C.  D.
8.(3分)如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:①PM=PN;② ;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN= PC.其中正确的个数是(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.(3分)已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c,它与x轴的两个交点分别为(?1,0),(3,0).对于下列命题:①b?2a=0;②abc>0;③a?2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有(  )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
10.(3分)如图∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为(  )
 
A.3 B.6 C.  D.
 
二、填空题:(每小题3分)
11.(3分)分解因式:4x3?4x2y+xy2=     .
12.(3分)已知y= ,则xy的值为     .
13.(3分)某组数据按从小到大的顺序如下:2、4、8、x、10、14,已知这组数据的中位数是9,则这组数据的众数是     .
14.(3分)如图,AB是⊙O直径,CD切⊙O于E,BC⊥CD,AD⊥CD交⊙O于F,∠A=60°,AB=4,求阴影部分面积     .
 
15.(3分)如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y= 的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.有下列五个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等;   ②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;④AC=BD;   ⑤tan∠BAO=a
其中正确的结论是     .(把你认为正确结论的序号都填上)
 
16.(3分)抛物线C1:y=x2?1(?1≤x≤1)与x轴交于A、B两点,抛物线C2与抛物线C1关于点A中心对称,抛物线C3与抛物线C1关于点B中心对称.若直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点,则b的取值或取值范围是     .
 
三、解答题:
17.(8分)先化简,后求值:( ? )÷ ,其中x满足x2?x?2=0.
18.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,DF平分∠ADC交BC于F.求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)若BD⊥EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形,请证明你的结论.
 
19.(8分)我校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
组别 正确数字x 人数
A 0≤x<8 10
B 8≤x<16 15
C 16≤x<24 25
D 24≤x<32 m
E 32≤x<40 n
根据以上信息解决下列问题:
(1)在统计表中,m=     ,n=     ,并补全条形统计图.
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是     .
(3)有三位评委老师,每位老师在E组学生完成学校比赛后,出示“通过”或“淘汰”或“待定”的评定结果.学校规定:每位学生至少获得两位评委老师的“通过”才能代表学校参加鄂州市“汉字听写”比赛,请用树形图求出E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率.
 
20.(8分)已知关于x的二次函数y=x2?(2m+3)x+m2+2?
(1)若二次函数y的图象与x轴有两个交点,求实数m的取值范围.
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且满足x12+x22=31+|x1x2|,求实数m的值.
21.(9分)在一次数学活动课上,老师带领学生测量一条南北流向的河的宽度,如图所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行10米到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(精确到1米,参考数值:tan31°≈ ,sin31°≈ )
 
22.(9分)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=9,tan∠CDA= ,求BE的长.
 
23.(10分)某景点试开放期间,团队收费方案如下:不超过30人时,人均收费120元;超过30人且不超过m(30<m≤ 100)人时,每增加1人,人均收费降低1元;超过m 人时,人均 收费都按照m人时的标准.设景点接待有x名游客的某团队,收取总费用为y元.
(1)求出y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队总人数的增加而增加,求m的取值范围.
24.(12分)如图①、②,在平面直角坐标系中,一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将三角板CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点),按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置.
 
(1)求C′点的坐标;
(2)求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式;
(3)如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,求切线BF的解析式;
(4)在(3)的条件下,抛物线上是否存在一点M,使得△BOF与△AOM相似?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
 
 

2018年湖北省鄂州市五校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)4的平方根是(  )
A.2 B.?2 C.±2 D.±
【解答】解:4的平方根是±2.
故选:C.
 
2.(3分)李阳同学在“百度”搜索引擎中输入“魅力襄阳”,能搜索到与之相关的结果个数约为236 000,这个数用科学记数法表示为(  )
A.2.36×103 B.236×103 C.2.36×105 D.2.36×106
【解答】解:236 000=2.36×105,
故选:C.
 
3.(3分)下列计算正确的是(  )
A.a3?a=a2 B.(?2a)2=4a2 C.x3•x?2=x?6 D.x6÷x2=x3
【解答】解:A、a3?a≠a2,故本选项错误;
B、(?2a)2=4a2,故本选项正确;
C、x3•x?2=x3?2=x,故本选项错误;
D、x6÷x2=x4,故本选项错误.
故选:B.
 
4.(3分)下面几何体中,其主视图与俯视图相同的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、圆柱主视图是矩形,俯视图是圆;
B、圆锥主视图是三角形,俯视图是圆;
C、正方体的主视图与俯视图都是正方形;
D、三棱柱的主视图是矩形与俯视图都是三角形;
故选:C.
 
5.(3分)若关于x的不等式组 有实数解,则a的取值范围是(  )
A.a<4 B.a≤4 C.a>4 D.a≥4
【解答】解:解不等式2x>3x?3,得:x<3,
解不等式3x?a>5,得:x> ,
∵不 等式组有实数解,
∴ <3,
解得:a<4,
故选:A.
 
6.(3分)如图,已知直线a∥b,△ABC的顶点B在直线b上,∠C=90°,∠1=36°,则∠2的度数是(  )
 
A.54° B.44° C.36° D.64°
【解答】解:过点C作CF∥a,
∵∠1=36°,
∴∠1=∠ACF=36°.
∵∠C=90°,
∴∠BCF=90°?36°=54°.
∵直线a∥b,
∴CF∥b,
∴∠2=∠BCF=54°.
故选:A.
 
 
7.(3分)如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动,设运动时间为t(s),△OEF的面积为s(cm2),则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【解答】解:根据题意BE=CF=t,CE=8?t,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,
∵在△OBE和△OCF中
 ,
∴△OBE≌△OCF(SAS),
∴S△OBE=S△OCF,
∴S四边形OE CF=S△OBC= ×82=16,
∴S=S四边形OECF?S△CEF=16? (8?t)•t= t2?4t+16= (t?4)2+8(0≤t≤8),
∴s(cm2)与t(s)的函数图象为抛物线一部分,顶点为(4,8),自变量为0≤t≤8.
故选:B.
 
8.(3分)如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:①PM=PN;② ;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN= PC.其中正确的个数是(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:①∵BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,
∴PM= BC,PN= BC,
∴PM=PN,正确;

②在△ABM与△ACN中,
∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,
∴△ABM∽△ACN,
∴ ,正确;

③∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,
∴∠ABM=∠ACN=30°,
在△ABC中,∠BCN+∠CBM?180°?60°?30°×2=60°,
∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB,
∴PM=PN=PB=PC,
∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,
∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形,正确;

④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB于点N,
∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,
∴BN=CN,
∵P为BC边的中点,
∴PN⊥BC,△BPN为等腰直角三角形
∴BN= PB= PC,正确.
故选:D.
 
 
9.(3分)已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c,它与x轴的两个交点分别为(?1,0),(3,0).对于下列命题: ①b?2a=0;②abc>0;③a?2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有(  )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【解答】解:根据图象可得:抛物线开口向上,则a>0.抛物线与y交与负半轴,则c<0,
对称轴:x=? >0,
①∵它与x轴的两个交点分别为(?1,0),(3,0),
∴对称轴是x=1,
∴? =1,
∴b+2a=0,
故①错误;
②∵a>0,
∴b<0,
∵c<0,
∴abc>0,故②正确;
③∵a?b+ c=0,
∴c=b?a,
∴a?2b+4c=a?2b+4(b?a)=2b?3a,
又由①得b=?2a,
∴a?2b+4c=?7a<0,
故③正确;
④根据图示知,当x=4时,y>0,
∴16a+4b+c>0,
由①知,b=?2a,
∴8a+c>0;
故④正确;
综上所述,正确的结论是:②③④共3个,
故选:A.
 
10.(3分)如图∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为(  )
 
A.3 B.6 C.  D.
【解答】解:连接AO并延长,与ED交于F点,与圆O交于P点,此时线段ED最大,
连接OM,PD,可得F为ED的中点,
∵∠BAC=60°,AE=AD,
∴△AED为等边三角形,
∴AF为角平分线,即∠FAD=30°,
在Rt△AOM中,OM=1,∠OAM=30°,
∴OA=2,
∴PD=PA=AO+OP=3,
在Rt△PDF中,∠FDP=30°,PD=3,
∴PF= ,
根据勾股定理得:FD= = ,
则DE=2FD=3 .
故选:D.
 
 
二、填空题:(每小题3分)
11.(3分)分解因式:4x3?4x2y+xy2= x(2x?y)2 .
【解答】解:4x3?4x2y+xy2
=x(4x2?4xy+y2)
=x(2x?y)2.
故答案为:x(2x?y)2.
 
12.(3分)已知y= ,则xy的值为   .
【解答】根据题意得: ,
解得:x=3,则y=?2,
故xy=3?2= .
故答案是: .
 
13.(3分)某组数据按从小到大的顺序如下:2、4、8、x、10、14,已知这组数据的中位数是9,则这组数据的众数是 10 .
【解答】解:由题意得,(8+x)÷2=9,
解得:x=10,
则这组数据中出现次数最多的是10,故众数为10.
故答案为:10.
 
14.(3分)如图,AB是⊙O直径,CD切⊙O于E,BC⊥CD,AD⊥CD交⊙O于F,∠A=60°,AB=4,求阴影部分面积 3 ? π .
 
【解答】解:设AD交⊙O于F,
连接OE、OF、BF,如图,
 
∵AB为⊙O直径,AB=4,
∴OE= AB=2,∠AFB=90°,
∵∠A=60°,
∴AF= AB=2,BF= AF=2 ,
∵根据圆周角定理得:∠BOF=2∠A=120°,
∴∠AOF=180°?120°=60°,
∵CD切⊙O于E,BC⊥CD,AD⊥CD,
∴∠C=∠OED=∠D=90°,
∴OE∥BC∥AD,
∵O为AB中点,
∴CE=ED,
∴BC+AD=2OE=AB=4,
∴阴影部分的面积S=S梯形BCDF?(S扇形AOF?S△BOF)
= (BC+AD)×BF? + ×2 ×1
= ×4×2 ? π?
=3 ? π,
故答案为:3 ? π.
 
15.(3分)如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y= 的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.有下列五个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等;   ②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;④AC=BD;   ⑤tan∠BAO=a
其中正确的结论是 ①②④⑤ .(把你认为正确结论的序号都填上)
 
【解答】解:①设D(x, ),则F(x,0),
由图象可知x>0,k>0,
∴△DEF的面积是: × ×x= k,
设C(a, ),则E(0, ),
由图象可知:a>0, <0,
△CEF的面积是: ×|a|×|  |= |k|,
∴△CEF的面积=△DEF的面积,
故①正确;
②△CEF和△DEF以EF为底,则两三角形EF边上的高相等,
∴EF∥CD,
∴FE∥AB,
∴△AOB∽△FOE,
故②正确;
③BD∥EF,DF∥BE,
∴四边形BDFE是平行四边形,
∴BE=DF,而只有当a=1时,才有CE=BE,
即CE不一定等于DF,故△DCE≌△CDF不一定成立;
故③错误;
④∵BD∥EF,DF∥BE,
∴四边形BDFE是平行四边形,
∴BD=EF,
同理EF=AC,
∴AC=BD,
故④正确;
⑤由一次函数y=ax+b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,
易得A(? ,0),B(0,b),
则OA= ,OB=b,
∴tan∠BAO= =a,
故⑤正确.
正确的有4个:①②④⑤.
故答案为:①②④⑤.
 
 
16.(3分)抛物线C1:y=x2?1(?1≤x≤1)与x轴交于A、B两点,抛物线C2与抛物线C1关于点A中心对称,抛物线C3与抛物线C1关于点B中心对称.若直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点,则b的取值或取值范围是 b=? 或? 或3≤b<  .
【解答】解:抛物线C1:y=x2?1(?1≤x≤1),顶点E(0,?1),
当y=0时,x=±1,
∴A(?1,0),B(1,0),
当抛物线C2与抛物线C1关于点A中心对称,
∴顶点E关于点A的对称点E′(?2,1),
∴抛物线C2的解析式为:y=?(x+2)2+1=?x2?4x?3,
当抛物线C3与抛物线C1关于点B中心对称,
∴顶点E关于点B的对称点E′′(2,1),
∴抛物线C3的解析式为:y=?(x?2)2+1=?x2+4x?3,
①当y=?x+b过D(3,0)时,b=3,
当y=?x+b与C3相切时,即与C3有一个公共点,
则 ,
?x2+4x?3=?x+b,
x2?5x+b+3=0,
△=25?4(b+3)=0,
b= ,
∴当3≤b< 时,直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点,
②当y=?x+b与C1相切时,即与C1有一个公共点,
则 ,
x2?1=?x+b,
x2+x?1?b=0,
△=1?4(?1?b)=0,
b=? ,
当y=?x+b与C2相切时,即与C2有一个公共点,
则 ,
?x2?4x?3=?x+b,
?x2?3x?3?b=0,
△=9?4×(?1)×(?3?b)=0,
b=? ,
∴当b=? 或? 时,直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点,
综上所述:当b=? 或? 或3≤b< 时,直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点.
 
 
三、解答题:
17.(8分)先化简,后求值:( ? )÷ ,其中x满足x2?x?2=0.
【解答】解:原式= ×
=x?1,
∵满足x2?x?2=0,
∴x=?1或2,
∵x=2分式无意义,
∴x=?1时,原式=?2.
 
18.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,DF平分∠ADC交BC于F.求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)若BD⊥EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形,请证明你的结论.
 
【解答】:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=CB,AD∥CB,∠A=∠C,∠ABC=∠ADC,
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠ABE= ∠ABC,∠CDF= ∠ADC,
∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE和△CDF中,
 ,
∴△ABE≌△CDF(ASA);

(2)∴AE=CF,
∴DE=BF,
又∵DE∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵BD⊥EF,
∴四边形EBFD是菱形.
 
19.(8分)我校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.
组别 正确数字x 人数
A 0≤x<8 10
B 8≤x<16 15
C 16≤x<24 25
D 24≤x<32 m
E 32≤x<40 n
根据以上信息解决下列问题:
(1)在统计表中,m= 30 ,n= 20 ,并补全条形统计图.
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 90° .
(3)有三位评委老师,每位老师在E组学生完成学校比赛后,出示“通过”或“淘汰”或“待定”的评定结果.学校规定:每位学生至少获得两位评委老师的“通过”才能代表学校参加鄂州市“汉字听写”比赛,请用树形图求出E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率.
 
【解答】 解:(1)∵总人数为15÷15%=100(人),
∴D组人数m=100×30%=30,E组人数n=100×20%=20,
补全条形图如下:
 

(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是360°× =90°,
故答案为:90°;

(3)记通过为A、淘汰为B、待定为C,
画树状图如下:
 
由树状图可知,共有27种等可能结果,其中获得两位评委老师的“通过”有7种情况,
∴E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率为 .
 
20.(8分)已知关于x的二次函数y=x2?(2m+3)x+m2+2?
(1)若二次函数y的图象与x轴有两个交点,求实数m的取值范围.
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且满足x12+x22=31+|x1x2|,求实数m的值.
【解答】解:(1)由题意得,[?(2m+3)]2?4×1×(m2+2)>0,
解得,m>? ;
(2)由根与系数的关系可知,x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,
x12+x22=31+|x1x2|,
(x1+x2)2?2x1x2=31+|x1x2|,
(2m+3)2?2×(m2+2)=31+m2+2,
整理得,m2+12m?28=0,
解得,m1=2,m2=?14(舍去),
当m=2时,满足x12+x22=31+|x1x2|.
 
21. (9分)在一次数学活动课上,老师带领学生测量一条南北流向的河的宽度,如图所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行10米到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(精确到1米,参考数值:tan31°≈ ,sin31°≈ )
 
【解答】解:过点C作CD⊥AB,垂足为D,
 
设CD=x米,
在Rt△BCD中,∠CBD=45°,
∴BD=CD=x米.
在Rt△ACD中,∠DAC=31°,
AD=AB+BD=(10+x)米,CD=x米,
∵tan∠DAC= ,
∴ = ,
解得x=15.
经检验x=15是原方程的解,且符合 题意.
答:这条河的宽度为15米.
 
22.(9分)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=9,tan∠CDA= ,求BE的长.
 
【解答】(1)证明:连OD,OE,如图,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,
又∵∠CDA=∠CBD,
而∠CBD=∠1,
∴∠1=∠CDA,
∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,
∴CD是⊙O的切线;

(2)解:∵EB为⊙O的切线,ED是切线,
∴ED=EB,∵OB=OD,
∴OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA= ,
∴tan∠OEB= = ,
∵Rt△CDO∽Rt△CBE,
∴ = = = ,
∴CD= ×9=6,
在Rt△CBE中,设BE=x,
∴(x+6)2=x2+92,
解得x= .
即BE的长为 .
 
 
23.(10分)某景点试开放期间,团队收费方案如下:不超过30人时,人均收费120元;超过30人且不超过m(30<m≤100)人时,每增加1人,人均收费降低1元;超过m人时,人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x名游客的某团队,收取总费用为y元.
(1)求出y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会 出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队总人数的增加而增加,求m的取值范围.
【解答】解:(1)y= ,其中(30<m≤100).
(2)由(1)可知当0<x≤30或x>m,函数值y都是随着x是增加而增加,
当30<x≤m时,y=?x2+150x=?(x?75)2+5625,
∵a=?1<0,
∴x≤75时,y随着x增加而增加,
∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,
∴30<m≤75.
 
24.(12分)如图①、②,在平面直角坐标系中,一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将三角板CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点),按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置.
 
(1)求C′点的坐标;
(2)求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式;
(3)如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,求切线BF的解析式;
(4)在(3)的条件下,抛物线上是否存在一点M,使得△BOF与△AOM相似?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)作C′H⊥x轴,如图②,
∵△CDE和△OAB为全等的等边三角形,
而三角板CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点),按顺时针方向旋转180°得到△C′ED,
∴AC′=OA=2,∠OAB=∠BAC′=60°,
∴∠C′AH=60°,
∴AH= AC′=1,C′H= AH= ,
∴C′(3, );
(2)设抛物线解析式为y=ax(x?2),
把C′(3, )代入得a•3•1= ,解得a= ,
∴抛物线解析式为y= x(x?2),
即y= x2? x;
(3)∵BF为⊙G的切线,
∴AB⊥BF,
而∠FAB=60°,
∴FA=2AB=4,
∴F(?2,0),
∵OB=OA=AC′=BC′=2,
∴四边形AOBC′为菱形,
∴B(1, ),
设直线BF的解析式为y=kx+b,
把F(?2,0),B(1, )代入得 ,解得 ,
∴直线BF的解析式为y= x+ ;
(4)存在.
抛物线的对称轴为直线x=1,
当x=1时,y= x2? x=? ,则抛物线的顶点坐标为(1,? ),
∵OF=OB=2,
∴△OBF为顶角为120°的等腰三角形,
当AM=AO=2时,点M与点C′重合,△BOF与△AOM相似,此时M(3, ),
当OM=OA时,点M与点C′关于直线x=1对称,△BOF与△AOM相似,此时M(?1, ),
当MA=MO时,点M为抛物线的顶点时,∠OAM=120°,△BOF与△AOM相似,此时M(1,? ),
综上所述,满足条件的M点的坐标为(3, )或(?1, )或(1,? ).


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