2018-2019学年甘肃省天水市麦积区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分） 的相反数是（ ）
A．? B． C．? D．
2．（4分）如果 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1
3．（4分）若（a?1）x2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a=1 B．a≠1 C．a≠?1 D．a≠0且b≠0
4．（4分）已知： ，则： =（ ）
A． B．? C． D．
5．（4分）下列各组中得四条线段成比例的是（ ）
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cm
C．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm
6．（4分）一元二次方程kx2?2x?1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥?1且k≠0 B．k≥?1 C．k≤?1且k≠0 D．k≥?1或 k≠0
7．（4分）下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（ ）
A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2 ，AB=3 ，则CD为（ ）
A． B． C． 2 D．3
10．（4分）如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个 正方形，则a，b，c满足的关系式是（ ）
A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）方程2x2?1?3x=0的一次项系数是 ．
12．（4分）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a= ．
13．（4分）已知分式 的值为零，那么x的值是 ．
14．（4分）如果 +|y+2|=0，则x2?2y的值为 ．
15．（4分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
16．（4分）若y= + +2，则x+y= ．
17．（4分）把根号外的因式移到根号内：（a?1） = ．
18．（4分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 =ad?bc，上述记号就叫做2阶行列式．若 =6，则x= ．
三、解答题（共28分）
19．（8分）计算：
（1） ÷ ? ×
（2） +|?7|+（ ）0+（ ）?1．
20．（8分）解下列方程：
（1）2x2+x?6=0；
（2）（x?5）2=2（5?x）．
21．（5分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD=5，EC=2，BD=AE=x，求BD的长．
22．（7分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元，商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？
四、解答题（共50分）
23．（8分）先化简，再求值：（1? ）÷ ，其中x= ?1．
24．（8分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，请化简式子：|a?b|? ? ．
25．（12分）已知关于x的方程（k?1）x2+2x?5=0有两个实数根a、b．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是满足条件的最小整数，求a2+5ab+2a的值．
26．（10分）我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且?（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2?6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或 最小值．
27．（12分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2?（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）在（1）的条件下，AB＜AC，动点P从C出发以1cm/s的速度向A运动，动点Q从A出发以2cm/s的速度向B运动．
①t为何值时，S△APQ= S△ABC？
③t为何值时，△APQ 与△ABC相似？
2018-2019学年甘肃省天水市麦积区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分） 的相反数是（ ）
A．? B． C．? D．
【解答】解：∵ +（? ）=0，
∴ 的相反数是? ．
故选A．
2．（4分）如果 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1
【解答】解：由题意得：x?1≥0，
解得：x≥1．
故选：B．
3．（4分）若（a?1）x2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a=1 B．a≠1 C．a≠?1 D．a≠0且b≠0
【解答】解：由题意，得a?1≠0，
解得a≠1，
故选：B．
4．（4分）已知： ，则： =（ ）
A． B．? C． D．
【解答】解：∵ ，
∴4a=3b，
∴ = = = ．
故选C．
5．（4分）下列各组中得四条线段成比例的是（ ）
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cm
C．3cm、4cm、5cm、 6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm
【解答】解：A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；
D、从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．
故选D．
6．（4分）一元二次方程kx2?2x?1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥?1且k≠0 B．k≥?1 C．k≤?1且k≠0 D．k≥?1或 k≠0
【解答】解：∵一元二次方程kx2?2x?1=0有实数根，
∴△=（?2）2+4k=4+4k≥0，且k≠0，
解得：k≥?1，且k≠0，
故选A．
7．（4分）下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、 不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误，
B、本项属于二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则，即可推出运算正确，故本选项正确，
C、根据二次根式的加减法法则，即可推出结果应该为 ，所以本项运算错误，故本选项错误，
D、 = ，故本选项错误，
故选B．
8．（4分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（ ）
A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x） 2=500
【解答】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2=720；
故本题选B．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2 ，AB=3 ，则CD为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：根据题意得：BC= = = ．
∵△ABC的面积= •AC•BC= •AB•CD
∴CD= = =2．
故选：C．
10．（4分）如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（ ）
A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c
【解答】解：∵DH∥AB∥QF
∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；
又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；
∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；
∴△DHE∽△GQF，
∴ =
∴ =
∴ac=（b?c）（b?a）
∴b2=ab+bc=b（a+c），
∴b=a+c．
故选A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）方程2x2?1?3x=0的一次项系数是 ?3 ．
【解答】解：2x2?1?3x=0的一次项系数是?3，
故答案为：?3．
12．（4分）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a= 1 ．
【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴1+a=4a?2，
解得a=1．
故答案为1．
13．（4分）已知分式 的值为零，那么x的值是 1 ．
【解答】解：根据题意，得
x2?1=0且x+1≠0，
解得x=1．
故答案为1．
14．（4分）如果 +|y+2|=0，则x2?2y的值为 8 ．
【解答】解：∵ +|y+2|=0，
∴2x?4=0，y+2=0，
∴x=2，y=?2，
∴x2?2y=22?2×（?2）=4+4=8．
故答案为8．
15．（4分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 = ，即 = ，
解得AM=5m．则 小明的影长为5米．
16．（4分）若y= + +2，则x+y= 5 ．
【解答】解：由y= + +2，得
x=3，y=2．
x+y=5，
故答案为：5．
17．（4分）把根号外的因式移到根号内：（a?1） = ? ．
【解答】解：∵ 有意义，
∴a?1＜0，
∴（a?1） =? =? ．
故答案为：? ．
18．（4分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 =ad?bc，上述记号就叫做2阶行列式．若 =6，则x= ± ．
【解答】解：已知等式利用已知新定义整理得：x2+2x+1+x2?2x+1=6，
解得：x=± ，
故答案为：±
三、解答题（共28分）
19．（8分）计算：
（1） ÷ ? ×
（2） +|?7|+（ ）0+（ ）?1．
【解答】解：（1） ÷ ? ×
=
=4?2
=2；
（2） +|?7|+（ ）0+（ ）?1
=
= +10．
20．（8分）解下列方程：
（1）2x2+x?6=0；
（2）（x?5）2=2（5?x）．
【解答】解：（1）左边因式分解可得：（x+2）（2x?3）=0，
则x+2=0或2x?3=0，
解得：x=?2或x=1.5；
（2）移项可得（x?5）2+2（x?5）=0，
因式分解可得：（x?5）（x?5+2）=0，即（x?5）（x?3）=0，
则x?5=0或x?3=0，
解得：x=5或x=3．
21．（5分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD=5，EC=2，BD=AE=x，求BD的长．
【解答】解：∵DE∥BC
∴ = ，
∴ = ，
∴x2=10，
x= 或x=? （舍去）
∴BD= ．
22．（7分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售 定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x 元，商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？
【解答】解：设每个定价增加x元．
列出方程为：（x+10）（400?10x）=6000，
解得：x1=10，x2=20，
要使进货量较少，则每个定价为50+20=70（元）．
答：每个定价为70元．
四 、解答题（共50分）
23．（8分）先化简，再求值：（1? ）÷ ，其中x= ?1．
【解答】解：（1? ）÷
=
=
= ，
当x= ?1时，原式= ．
24．（8分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图， 请化简式子：|a?b|? ? ．
【解答】解：由图可知：b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴|a?b|? ? =（a?b）?（?b）?（?a?b）
=2a+b．
25．（12分）已知关于x的方程（k?1）x2+2x?5=0有两个实数根a、b．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是满足条件的最小整数，求a2+5ab+2a的值．
【解答】解：
（1）∵关于x的方程（k?1）x2+2x?5=0有两个实数根，
∴△≥0且k?1≠0，即4?4（k?1）×（?5）≥0且k?1≠0，
解得k≥ 且k≠1；
（2）由（1）可知k≥ 且k≠1，
∴k的最小整数值为2，
∴方程为x2+2x?5=0，
∵a、b为方程的两根，
∴a2+2a=5，ab=?2，
∴a2+5ab+2a=5?2×5=?5．
26．（10分）我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且?（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2?6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
【解答】解：原式=3（y?1）2+8，
∵（y?1）2≥0，
∴3（y?1）2+8≥8，
∴有最小值，最小值为8．
27．（12分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2?（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）在（1）的条件下，AB＜AC，动点P从C出发以1cm/s的速度向A运动，动点Q从A出发以2cm/s的速度向B运动．
①t为何值时，S△APQ= S△ABC？
③t为何值时，△APQ 与△ABC相似？
【解答】解：（1）由根与系数的关系得：AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2=52=25
即（2k+3）2?2（k2+3k+2）=25
化简得：k2+3k?10=0
解得 k1=2，k2=?5
当k=2时，方程为x2?7x+12=0，
AB、AC两边为3，4；
当k=?5时，方程为x2+7x+12=0，
AB、AC两边为?3，?4；不合题意，舍去．
综上：当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）①∵AB＜AC，
∴AB=3，AC=4，
则CP=t，AQ=2t，
由题意得， ×2t×（4?t）= ×3×4，
整理得，t2?4t+3=0，
解得，t1=1，t2=3，
答：当t为1或3时，S△APQ= S△ABC；
②当 = ，即 = 时，△AQP∽△ABC，
解得t= ，
当 = ，即 = 时，△APQ∽△ABC，
解得，t= ，
答：当t= 或 时，△APQ 与△ABC相似．
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