2018-2019学年山东省日照市莒县第三协作区九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（1-8小题3分9-12小题4分，本题共40分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于 弦
C．直径是同一个圆中最长的弦 D．过三点能确定一个圆
2．（3分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连结AD、BC．若∠BCD=70°，则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（3分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
4．（3分）已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相 交 C．相切 D．外切
5．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB=8，OC=5，则MD的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（ ）
A．35° B．70° C．110° D．140°
7．（3分）圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
8．（3分）圆内接正三角形的边长是12cm，则该圆的半径长是 （ ）
A．3 cm B．4 cm C．3 cm D．4 cm
9．（34分）如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
10．（4分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
11．（4分）在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为 （ ）
A．30° B．.60° C．30°或150° D．60°或120°
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB'C'，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． π B． π C．2π D．4π
二、填空题（每小题4分，本题共16分）：
13．（4分） △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（1，2），B（1，1），C（3，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C，则点A旋转到点A′所经过的路线长为 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（?3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ．
15．（4分）如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm2．
16．（4分）如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为 度．
三.解答题（共64分）
17．（10分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求DC的长．
19．（8分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E ，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
20．（12分）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）试确定BAC所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=2 cm，求圆片的半径R．
21．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，以边BC为直径作半圆O，点E在AB上，且AE=1.5cm，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况；
（2）求阴影部分的面积．
22．（12分）以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．
（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．
2018-2019学年山东省日照市莒县第三协作区九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（1-8小题3分9-12小题4分，本题共40 分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．直径是同一个圆中最长的弦 D．过三点能确定一个圆
【解答】解：A、长度相等的两条弧是等弧，错误．
B、平分弦的直径垂直于弦，此命题错误；
B、直径是同一个圆中最长的弦，命题正确；
C、过三点能确定一个圆，此命题错误；
故选C．
2．（3分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连结AD、BC．若∠BCD=70°，则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵∠BCD=70°，
∴∠BAD=∠BCD=70°．
故选D．
3．（3分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3c m，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选B．
4．（3分）已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．外切
【解答】解：∵⊙O的直径是10，
∴⊙O的半径r=5，
∵圆心O到直线l的距离d是5，
∴r=d，
∴直线l和⊙O的位置关系是相切，
故选C．
5．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB=8，OC=5，则MD的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
【解答】解：连接OA，
∵CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB=8，
∴AM=BM=4，
∵OC=5，
∴OA=OD=5，
∴OM= = =3．
∴DM=OD?OM=5?3=2．
故选B．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（ ）
A．35° B．70° C．110° D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
7．（3分）圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2πcm，
设圆心角的度数是x度．则 =2π，
解得：x=120．
故选B．
8．（3分）圆内接正三角形的边长是12cm，则该圆的半径长是 （ ）
A．3 cm B．4 cm C．3 cm D．4 cm
【解答】解：如图，△ABC是⊙O的边长为2的内接正三角形．
连OB，OA，
∵△ABC是正三角形，
∴AO垂直平分BC，设垂足为D．
∴BD=CD=6；
又∵∠OBD=30°，
∴OD=2 ，则OB=2OD=4
故选D．
9．（34分）如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【解答】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14．故选D．
10．（4分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD=6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r?4）2，解得r=6.5
故选：A．
11．（4分）在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为 （ ）
A．30° B．.60° C．30°或150° D．60°或120°
【解答】解：如图，首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，
∵OA=OB=6cm，AB=6cm，
∴OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C= ∠AOB=30°，
∴∠D=180°?∠C=150°，
∴所对的圆周角的度数为：30°或150°．
故选：C．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB'C'，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． π B． π C．2π D．4π
【解答】解：扇形BAB′的面积是： = ，
在直角△ABC中，BC=AB•sin60°=4× =2 ，AC= AB=2，
S△ABC=S△AB′C′= AC•BC= ×2 ×2=2 ．
扇形CAC′的面积是： = ，
则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S△AB′C′?S△ABC?扇形CAC′的面积= ? =2π．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，本题共16分）：
13．（4分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（1，2），B（1，1），C（3，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C，则点A旋转到点A′所经过的路线长为 ．
【解答】解：连接OA、OA'，
由勾股定理得：OA= = ，
∠AOA'=90°，
∴点A旋转到点A′所经过的路线长为： = ．
故答案为： ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（?3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 1或5 ．
【解答 】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相 切时，平移的距离为5．
故答案为：1或5．
15．（4分）如图，某同学利用半径为 40cm的扇形纸片制作成一个 圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是 400π cm2．
【解答】解：圆锥侧面积公式为：s侧面积=πrR=π×10×40=400π．
故答案为：400π．
16．（4分）如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为 30 度．
【解答】解：连接OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠D=90°?∠COB=30°．
三.解答题（共64分）
17．（10分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长．
【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°?2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∴在四边形OAPB中，
∠APB=360°?120°?90°?90°=60°．
（2）如图，连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PO平分∠APB，即∠APO= ∠APB=30°，
又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，
∴AP= ．
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求DC的长．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OB=OC，∠B=30°，
∴∠OCB=∠B=30°．
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°．
∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC．
∵BC是弦，
∴点C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点．
（2）∵AB=2，
∴OC=OB= =1．
∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴DC= OC= ．
19．（8分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结E C．若AB=8，CD=2，求EC的长．
【解答】解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC= AB= ×8=4，
设AO=x，则OC=OD?CD=x?2，
在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，
∴x2=42+（x?2）2，
解得 x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE= = =2 ．
20．（12分）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）试确定BAC所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=2 cm，求圆片的半径R．
【解答】解：（1）如图所示，圆心O即为所求．
（2）如图，连接AO交BC于D，连接OB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB=DC，AD⊥BC，
∵AB=AC=2 cm，BC=8cm，
∴BD=4cm，
∴AD= =2cm，
∵OB=OA=R，
∴R2=42+（R?2）2，
∴R=5，
即圆片的半径R为5cm．
21．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，以边BC为直径作半圆O，点E在AB上，且AE=1.5cm，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况；
（2）求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）DE与半圆O相切．理由如下：
过点O作OF⊥DE，垂足为点F，
在Rt△ADE中，∵AD=2，AE=1.5，
∴DE= =2.5，
∵S四边形BCDE=S△DOE+S△BOE+S△CDO，
∴ ×（0.5+2）×2= ×2.5•OF+ ×1×0.5+ ×1×2 ，
∴OF=1，
∵OF的长等于圆O的半径，OF⊥DE，
∴DE与 半圆O相切；
（2）阴影部分的面积=梯形BECD的面积?半圆的面积
= ×（0.5+2）×2? ×π×12
= （cm2）．
22．（12分）以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．
（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．
【解答】解：（1）如图一，连接AQ．
由题意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2，
∴A为OP的中点．
∵PQ与⊙O相切于点Q，
∴△OQP为直角三角形．
∴ ．
即△OAQ为等边三角形．
∴∠QOP=60°．
（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，
过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP= ．
∵ ，
∴OC= = ．
∵OC⊥QD，OQ=1，OC= ，
∴QC= = ．
∴QD= ．
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