一元二次方程根的判别式
九（上）第四章
［课标要求］：
1、理解一元二次方程的根的判别式
2、会根据根的判别式 判断数字系数的一元二次方程根的情况.
3、会根据字母系数的一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围.
［要点疏理］
一元二次方程的ax2＋bx＋c＝0（ a≠0）的根的判别式是△＝＿＿＿＿＿＿

［基础训练］
1、若一元二次方程x2＋2x＋ ＝0无实数解，则的取值范围是＿＿＿＿＿
2、关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A、 B． C． D． 或
3、如果方程 x2－2x＋＝0有实根，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿
4、已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的 实数根，则a的取值范围是（　　）
A、a＜2 B、a＞2 C、a ＜2且a≠1 D、a＜－2
5、已知关于x 的一元二次方程x2－bx＋c＝0 的两根分别为x1＝1，x2＝－2 ，则b与c的值分别是（　　）
A、b＝－1，c＝2 　　B、b＝1，c＝－2　　　C、b＝1，c＝2　　D、b＝－1，c＝－2
6、如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两 个不相等的实数根x1、x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为（　　）
A、3　　　B、－3　　　C、 13　　　　 D、－13
7、已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根x1、x2，则 的值为（　　）
A、－3 　　 　　B、3　　　　C、－6　　　D、6
8、设一元二次方程（x－1）（x－2）＝（＞0）的两实根分别为α、 β，则α、β满足（ ）
A、1＜α＜β＜2 B、1＜α＜2＜β C、α＜1＜β＜2 D、α＜1且β＞2
［问题研讨
例1、已知关于x的一元二次方程x24x1＝0有两个相等的实数根，求的值及 方程的根。

例2 、已知关于x的方程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0，k为何值时：
①方程有两个不相等实根；　　　②方程有两个等根；　　 　③方程没有实根　

例3、关于x的一元二次方程x2＋3x＋－1＝0的两个实数根分别为x1、x2.
（1）求的取值范围
（2）若2（x1＋x2）＋x1x2＋10＝0，求的值

变式：（1）关于x的一元二次方程（a－5）x2－4x－1＝0有实数根，求a的取值范围.
（ 2）关于x的方程（a－5）x2－4x －1＝0有两个实数根，求a的取值范围.

例4、已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 的 根 的情况是（ ）
A、无实数根B、有两个相等实数根
C、有两个异号实数根D、有两个同号不等实数根
例5、已 知关于 的方程
（1）当 取何值时，方程有两个实数根；
（2）给 选取一个合适的整数，使方程 有两个不等的有理数根，并求出这两个实数根.

例6、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程：
x2－（2k＋1）x＋k（k＋1）＝0的两个实数根，第三边BC的长为5.求k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长.

［规律总结］
1、判别含字母系数的一元二次方程的一般步骤
①把方程化为一般形式，写出根的判别式；
②确定判别式的符号；
③根据判别式的符号，得出结论.
2、应用根的判别式时应注意二次项系数不为0
3、注意结论的正逆两个方面的应用
［强化训练］
1、已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋＝0.
（1）当＝3时，判断方程的根的情况.
（2）当＝－3时，求方程的根.

2、已知关于x的一元二次方程x2＋（＋3）x＋＋1＝0.
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根.
（2）若x1、x2是原方程的两个根，且 ，求的值和此时方程的两根.

3、已知关于x的一元二次方程（x－）2＋6x＝4－3有实数根.
（1）求的取 值范围.
（2）设方程的两实数根分别为x1与x2，求代数式x1•x2－ 的最大值.

4、已知x1、x2是一元二次方程（a－b）x2＋2ax＋a＝0的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2 ＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（2）求使（x1＋1）（x2＋1）的负整数的实数a的整数值.

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