山

期中检测题
（时间:120分钟，满分:120分）
一、（每小题3分，共36分）
1.关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是（　　）
A. B. C. D.
2.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为 ，小正方形的面积为 ，若用 表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）
A. B.
C. D.

3.若点 是线段 的黄金分割点，且 ，则下列结论正确的是（　　）
A. B. C. D.以上都不对
4.如图，在△ 中， 为 边上一点，∠ ∠ ， ， ，则 的长为（　　）
A.1 B.4 C.3 D.2
5.已知等边△ 中， ， 与 相交于点 ，则∠ 等于（　　）
A.75° B.60° C.55° D.45°
6. 是关于 的一元二次方程，则 的值应为（ ）
A. ＝2 B. C. D.无法确定
7. 已知 ，则直线 一定经过（　　）
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
8.定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下 列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形
中（　　）
A.有一个内角大于60° B.有一个内角小于60°
C.每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60°
10.下列命题中是假命题的是（　　）
A.在△ 中，若 ，则△ 是直角三角形
B.在△ 中，若 ，则△ 是直角三角形
C.在△ 中，若 ，则△ 是直角三角形
D.在△ 中，若 ，则△ 是直角三角形
11.用反证法证明“ ”时应假设（　　）
A. B. C. D.
12.如图，在平行 四边形 中， 是 的中点， 和 交于点 ，设△ 的面积为 ，
△ 的面积为 ，则下列结论中正确的是 （　　）
A. B.

二、题（每小题3分，共24分）
13.如图，已知 ，若再增加一个条件就能使结论“ ”成立，则这个条件可以是____________.（只填一个即可）
14.已知 是方程 的一个根，则 的值为______.
15.如果 ，那么 的关系是________．
16.如果关于 的方程 没有实数根，则 的取值范围 为_____________.
17.设 都是正数，且 ，那么这 三个数中至少有一个大于或等于 ．用反证法证明这一结论的第一步是________.
18. 如图，∠ ∠ ， 于 ， 于 ，若
， ，则 ______.
19. 若 （ 均不为0），则 的值
为 .
20. 在△ABC中， ， ， ，另一个与它相似的△ 的最短边长为45 c，则△ 的周长为________.
三、解答题（共60分）
21.(6分)若关于 的一元二次方程 的常数项为0，求 的值是多少？
22.(6分)如果关于 的一元二次方 程 有实根，求 的取值范围.
23.（6分）如图，梯形 的中位线 与对角线 、 分别交于 ， ， 求 的长.

24.（8分）如图，点 是正方形 内一点，△ 是等边三角形，连接 ，延长 交边 于点 ．
（1）求证：△ ≌△ ；（2）求∠ 的度数．
25.（8分）如图，在等腰梯形 中， ∥ ， 分别是 的中点， 分别是 的中点．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若四边形 是正方形，请探索等腰梯形 的高和底边 的数量关系，并 证明你的结论．

26.（9分）如图，在等腰梯形 中， ∥ ，点 是线段 上的一个动点（ 与 、 不重
合）， 分别是 的中点．
（1）试探索四边形 的形状，并说明理由.
（2）当点 运动到什么位置时，四边形 是菱形？并加以证明.
（3）若（2）中的菱形 是正方形，请探索线段 与线段 的关系，并证明你的结论．

27.（8分） 已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）当 时，求 的值．

28.(9分)如图，点 是菱形 的对角线 上一点，连接 并延长，交 于 ，交 的延长线于点 ．
（1）图中△ 与哪个三角形全等？并说明理由.
（2）求证：△ ∽△ .
（3）猜想：线段 ， ， 之间存在什么关系？并说明理由．

期中检测题参考答案
1.C 解析：∵ 方程 有两个相等的实数根，∴ ，
解得 ．故选C．
2.C 解析：A.因为正方形图案的边长为7，同时还可用 来表示，故 正确； B.因为正方形图案面积从整体看是 ，从组合来看，可以是 ，还可以是 ，所以有 即 ， 所以 ，即 ；C. ，故 是错误的；D.由B可知 ．故选C．
3.A 解析：由 ，知 是较长的线段，根据黄金分割点的定义，知 ．
4.D 解析：∵ 在△ 中， 为 边上一点， ， ，
∴ △ ∽△ ，∴ .
又∵ ， ，∴ ,∴ ．
5.B 解析：∵ △ 为等边三角形，∴ ，∠ ∠ ∠ .
∵ ，∴ △ ≌△ ．∴ ∠ ∠ .
∵ ∠ ∠ （公共角），∴ △ ∽△ ，∴ ∠ ∠ ，
∵ ∠ 和∠ 是对顶角，∴ ∠ ．故选B．
6.C 解析：由题意得， ，解得 .故选C.
7.B 解析：分情况讨论：当 时，根据比例的等比性质，得 ，此时直线为 ，直线经过第一、二、三象限；当 时，即 ，则 ，此时直线为 ，直线经过第二、三、四象限．综合两种情况，则直线必经过第二、三象限，故选B．
8.A 解析：依题意得, 联立得 ,∴ ,∴ .故选 ．
9.C 解析：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C．
10.C 解析：A.因为 ，所以∠ °，所以△ 是直角三角形，故A正确；B. 因为 ，所以 ，所以△ 是直角三角形，故B正确；C.若 ，则最大角 为75°，故C错误；
D.因为 ，由勾股定理的逆定理，知△ 是直角三角形，故D正确．
11.D 解析： 的大小关系有 ， ， 三种情况，因而 的反面是 ．因此用反证法证明“ ”时，应先假设 ．故选D．
12.B 解析：∵ ∥ ，∴ △ ∽△ .又∵ 是 的中点，∴ ，
∴ ： = ，即 ．
13. （答案不唯一） 解析：要使 成立，需证△ ∽△ ，在这两个三角形中，由 可知∠ ∠ ，还需的条件可以是 或
14. 解析：把 代入方程 可得， ，即 ，
∴ ．
15. 解析：原方程可化为 ，∴ .
16. 解析：∵ ，∴ ．
17.假设 都小于 解析：运用反证法证明命题的一般步骤是：（1）假设命题结论不成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而证明命题的结论成立．
18. 解析：∵ ， ，∴ ∠ ∠ .
又∵ ∠ ∠ ∴ △ ∽△ ，∴ ．
19.1 解析：设 ，所以 所以

20.195 c 解析：因为△ABC∽△ ，所以 .又因为在△ABC中，边 最短，所以 ，所以 ，所以△ 的周长为
21. 解:由题意得
即当 时，一元二次方程 的常数项为
22.解：由于方程是一元二次方程，所以 ，解得 .
由于方程有实根，因此 ,解得 .
因此 的取值范围是 且 .
23.解：因为 是梯形 的中位线，所以 ∥ ∥ ，
所以∠ ∠ ∠ ∠ ，所以△ ∽△ ，所以 .
又因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
所以 为 的中点，所以 为△ 的中位线.
同理可得 分别是△ 、△ 的中位线，
所以 ， ，所以 .
又 ，所以
所以
又 ，所以 .
24.（1）证明：∵ 四边形 是正方形，∴ ∠ ∠ ， ．
∵△ 是等边三角形，∴ ∠ ∠ ， ．
∵∠ ∠ ，∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ ，∠ ∠ ，∴△ ≌△ ．
（2）解：∵ △ ≌△ ，∴ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ．
∵ ，∴∠ ∠ ．
∵ ∠ ，∴ ∠ ，∴ ∠ ．
25.（1）证明：∵ 四边形 为等腰梯形，∴ ，∠ ∠ ．
∵ 为 的中点，∴ ． ∴ △ ≌△ ．∴ ．
∵ 分别是 的中点，∴ 分别为△ 的中位线，
∴ ， ，且 ， ．
∴ ．∴ 四边形 是菱形．
（2）解：结论：等腰梯形 的高是底边 的一半.
理由：连接 ，
∵ ， ，∴ ．
∵ ∥ ，∴ ．∴ 是梯形 的高．
又∵ 四边形 是正方形，∴ △ 为直角三角形．
又∵ 是 的中点，∴ ．
26.解：（1）四边形 是平行四边形.
理由：因为 分别是 的中点，所以 ∥ ，
所以四边形 是平行四边形.
（2）当点 是 的中点时，四边形 是菱形.
证明：因为四边形 是等腰梯形，所以 ，
因为 ，所以△ ≌△ .所以
因为 分别是 的中点，所以
又由（1）知四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形.
（3）
证明：因为四边形 是正方形，所以
因为 分别是 的中点，所以 .
因为 是 中点，所以
27.解:（1）∵ 一元二次方程 有两个实数根,
∴ ,∴ .
（2）当 ，即 时， 或 .
当 时，依据一元二次方程根与系数的关系可得 ,
∴ ,∴ .
又 由（1）一元二次方程 有两个实数根时 的取值范围是 ,知 不成立,故 无解.
当 时， ,方程有两个相等的实数根,
∴ ,∴ .
综上所述,当 时， .
28.（1）解：△ ≌△ ．
理由：∵ 四边形 是菱形，∴ ，∠ ∠ ．
又∵ ，∴ △ ≌△ ． （2）证明：∵ △ ≌△ ，∴ ∠ ∠ .
又∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ .
又∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ． （3）猜想： ．
理由：∵ △ ∽△ ，∴ ．∴ ．
∵ △ ≌△ ，∴ ．∴ ．

山
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