麓山国际实验学校2014—2015—2初三第六次限时训练
数 学 试 卷
命题人：李 婷 审题人：高苏銮
总分：120分 时间：120分钟
一、选择题：（每小题3分，共36分）
1、若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B. C. . D.
3、下面与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4、下列运算正确的是（ ）
A. B C. D.
5、甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，
但乙的成绩比甲的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（ ）。
A.
B.
C. D.不能确定
6、如图，已知直线a∥b,直线c与a、b分别交于A、B，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值等于（ ）
A． B. C. D.
8、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 等边三角形 B． 平行四边形 C． 正方形 D． 等腰梯形
9、已知关于x的一元二次方程 的两根分别为 则b与c的值分别为( )
A． B． C． D．
10、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )。
11、如图，直线 与反比例函数 的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则 的面积为( )
A．3 B． C． D．不能确定
12、如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、 DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
二、选择题：（每小题3分，共18分）
13、因式分解： .
14、某市棉花产量约378000吨，将378000用科学计数法表示应是______________吨.
15、已知点 与点 关于 轴对称，则m+n= ．
16、如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若 ， ，
则⊙O的半径长为 。
17、已知扇形的半径为2 cm，圆 心角为1200，则此扇形的的弧长是 cm.
18、如图，在直角坐标系中，已知点 ， ，对△ 连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ．
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三、解答题：（19-20每题6分，21-22每题8分，23-24每题9分，25-26每题10分，共66分）
19、计算：
20、解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．
21、我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
22．马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我国两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．
23、某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天 ？
24、如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB= ，求弦DG的长．
25、已知抛物线C1的函数解析式为y＝ax2＋bx－3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，－3），方程ax2＋bx－3a＝0的两根为x1，x2，且|x1－x2|＝4．
⑴求抛物线C1的顶点坐标．
⑵已知实数x＞0，请证明x＋ ≥2，并说明x为何值时才会有x＋ ＝2．
⑶若将抛物线C1先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB＝90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S最小值及S取最小值时直线OA的函数解析式．
26、已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分 别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断 是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
2014—2015—2初三第六次限时训练数学答案
一、选择题 ABBAB DBCDB CB
二、填空题
13、
14、
15、-1
16、
17、
18、（36,0）
三、解答题
19、
-----------------------------------------------------------------（4分）
---------------------------------------------------------------------------------------（6分）
20、
解不等式（1）得 ----------------------------------------------------------------（2分）
解不等式（2）得 ------------------- --------------------------------------（4分）
故不等式组的解为 -----------------------------------------（5分）
故不等式组的整数解为3、4.--------------------------------------------------------------（6分）
21、解：（1）该班总人数是：12÷24%=50（人），------------------------（1分）
则E类人数是：50×10%=5（人），
A类人数为：50?（7+12+9+5）=17（人）．
补全频数分布直方图如下：
------------------------（4分）
（2）画树状图如下：
，
或列表如下：
--------------------（6分）
共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种，
则概率是： = ．-----------------------------------（8分）
22、
（1）如图，过点P作PH⊥AB于点H，则PH的长是P到A、B两船所在直线的距离.
根据题意，得∠PAH=90°－53.50°=36.5°，∠PBH=45°，AB=140海里.
设PH=x海里
在Rt△PHB中，tan4 5°=xBH，∴BH=x；
在Rt△PHA中，tan36.5°=xAH，∴AH=xtan36.5°=43x.∵AB=140，∴43x +x=140，解得x=60，即PH=6 0，因此可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里.------------------（4分）
（2）在Rt△PHA中，AH=43×60=80， PA=602+802=100，救助船A到达P处的时间tA=100÷40=2.5小时；在Rt△PHB中，PB=602+602=602，救助船B到达P处的时间tB=602÷30=22小时.
∵2.5<22，∴救助船A先到达P处.-------------------------------（8分）
23、解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积 是xm2，根据题意得： ? =4，
解得：x=50经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；---------------------（4分）
（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：
0.4x+ ×0.25≤8，解得：x≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．------------------------------（9分）
24、
解答： （1）证明：连AD，如图
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，
而∠C=90°?∠EAD，∠CDE=90°?∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC，
即E为BC的中点；------ ---------------------（4分）
（2）解：由（1）知，E为BC的中点，则AC=2AE=6．
∵cos∠ACB= ，∴sin∠ACB= = ．
连接AD，则∠ADC=90°．
在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6× = ．
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB= × = ，
∴DG=2DF= ．---------------------------（9分）
25、（1）∵抛物线过（0，－3）点，∴－3a＝－3
∴a＝1 ---------------------------（1分）
∴y＝x2＋bx－3
∵x2＋bx－3＝0的两根为x1，x2且 ＝4
∴ ＝4且b＜0
∴b＝－2 ---------------------------（2分）
y＝x2－2x－3＝（x－1）２－4
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，－4） ---------------------------（3分）
（2）∵x＞0，∴
∴ 显然当x＝1时，才有 ---------------------------（5分）
（3）由平移知识易得C2的解析式为：y＝x2 ---------------------------（6分）
（4）∴A(m，m２)，B（n，n２）
∵ΔAOB为RtΔ
∴OA２＋OB２＝AB２
∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２
化简得：m n＝－1 ---------------------------（7分）∵ ＝ ＝
∵m n＝－1
∴ ＝
＝
∴ 的最小值为，1，此时m＝1，A(1，1) ---------------------------（9分）
∴直线OA的一次函数解析式为y＝x． ---------------------------（10分）
26、【答案】解：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC。
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，
∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°。
又∵E、F分别为DC、CB中点，∴OE= CD，OF= BC，AO= AD。
∴0E=OF=OA。∴点O即为△AEF的外心。---------------------------（3分）
（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。证明如下：
如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°。
∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA。∴∠IPJ=∠EPA。
∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA（AAS）。
∴PI=PJ。
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。--------------（7分）
② 为定值2。
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为 DC、CB中 点．
连接BD、A C交于点P，由 （1）可得点P即为△AEF的外心。
如图3．设MN交BC于点G，
设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y－1。
∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP。∴BG=DM=x．
∴CG=1－x。
∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM。
∴ ，即 。
∴x＋y=2xy。∴ ，即 =2。---------------------（10分）
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