2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县九年级（上）期初数学试卷
一、选择：（每小题3分，共30分，选择题答案填在答题卡内）
1．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=（ ）cm．
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
4．直角三角形两直角边分别为4，3，则斜边上的中线长为（ ）
A． 2.5 B． 3 C． 3.5 D． 4
5．菱形的周长是20，一条对角线长为8，则它的面积是（ ）
A． 24 B． 48 C． 96 D． 12
6．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ ）
A． a=5，b=8，c=10 B． a=7，b=24，c=25
C． a=6，b=8，c=10 D． a=3，b=4，c=5
7．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（ ）
A． 15° B． 30° C． 45° D． 60°
8．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 20
9．已知平行四边形的一边长是14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线的是（ ）
A． 10与16 B． 12与16 C． 20与22 D． 10与40
10．下列说法正确的是（ ）
A． 两条对角线相等的四边形是平行四边形
B． 两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
C． 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D． 两条对角线平分且相等的四边形是正方形
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．若|a?2|+ =0，则a?b= ．
13．命题“菱形是对角线互相垂直的四边形”的逆命题是
．
14．计算（? ）2= ，（3 ）2= ．
15．正方形的一边和一条对角线所成的角是 ．
16．如图所示，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 ．（只要写出一个即可，图中不能再添加别的“点”或“线”）
17．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是 形．
18．矩形的一条角平分线分对边为3和4两部分，则矩形周长为 ．
19．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，则AD= ，CD= ．
20．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为 ．
三、解答题（共60分）
21．计算：
（1）（ + ）2007×（ ? ）2006．
（2）（ ?1）2?（ + ）（ ? ）
（3）（?1）2012?|?7|+ （ ?1）0+（ ）?1．
22．先化简，再求值：（a?1+ ）÷（a2+1），其中a= ?1．
23．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，已知AC=8cm，BD=6cm，求OE的长．
24．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中点．
求证：DE=CF．
25．如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=6，求：
（1）对角线的长；
（2）BC的长；
（3）矩形ABCD的面积．
26．如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，试判断四边形OCED的形状．
27．如图ABCD是一个正方形花园．E、F是它的两个门且分别是AD、CD的中点，要修两条路BE和AF
1）如图a，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
2）如图b，若点E、F不是正方形ABCD的边的中点但满足DE=CF，那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县九年级（上）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择：（每小题3分，共30分，选择题答案填在答题卡内）
1．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．
分析： 要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
解答： A、 可以化简，不是最简二次根式；
B、 ，不能再开方，被开方数是整式，是最简二根式；
C、 ，被开方数是分数，不是最简二次根式；
D、 ，被开方数是分数，不是最简二次根式．
故选B．
点评： 本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
分析： 二次根式的加减法运算，根据法则，必须是被开方数相同的二次根式才能合并；而对于二次根式的化简， ，再根据a的符号去绝对值符号．
解答： 解：A、 与 不能进行合并；故A错误．
B、 ；故B错误．
C、 =2+ ；故C正确．
D、 = ?2；故D错误．
故选C．
点评： 本题综合考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是熟记法则和性质．
3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=（ ）cm．
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
考点： 等腰三角形的性质；勾股定理．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出BD，再根据勾股定理求出AD．
解答： 解：∵等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，BC=6cm，
∴BD=CD=3cm，AD⊥BC，
在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=5cm，BD=3cm，
∴AD= =4cm．
故选A．
点评： 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，关键是求出BD的长．
4．直角三角形两直角边分别为4，3，则斜边上的中线长为（ ）
A． 2.5 B． 3 C． 3.5 D． 4
考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
分析： 利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解答： 解：∵两直角边分别为4，3，
∴斜边= =5，
∴斜边上的中线长= ×5=2.5．
故选A．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
5．菱形的周长是20，一条对角线长为8，则它的面积是（ ）
A． 24 B． 48 C． 96 D． 12
考点： 菱形的性质．
分析： 求出菱形的边长，根据菱形的对角线互相垂直平分求出另一对角线的一半，然后求出另一对角线，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解答： 解：∵菱形的周长是20，
∴菱形的边长=20÷4=5，
∵一条对角线长为8，
∴它的一半=8÷2=4，
∴另一对角线的一半= =3，
∴另一对角线=3×2=6，
∴菱形的面积= ×6×8=24．
故选A．
点评： 本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
6．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ ）
A． a=5，b=8，c=10 B． a=7，b=24，c=25
C． a=6，b=8，c=10 D． a=3，b=4，c=5
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
解答： 解：A、52+82≠102，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项正确；
B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
D、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
故选：A．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（ ）
A． 15° B． 30° C． 45° D． 60°
考点： 矩形的性质．
专题： 计算题．
分析： 本题主要考查矩形的性质以及折叠，求解即可．
解答： 解：因为∠EAF是△DAE沿AE折叠而得，所以∠EAF=∠DAE．
又因为在矩形中∠DAB=90°，即∠EAF+∠DAE+∠BAF=90°，
又∠BAF=60°，所以∠AED= =15°．
故选A．
点评： 图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量．
8．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 20
考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．
分析： 由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．
解答： 解：∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF
∴BF=FD，DE=EC，
所以：▱AFDE的周长等于AB+AC=10．
故选B．
点评： 根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
9．已知平行四边形的一边长是14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线的是（ ）
A． 10与16 B． 12与16 C． 20与22 D． 10与40
考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系．
分析： 可由三角形的一边与平行四边形对角线的一半组成一三角形，在三角形中利用三角形三边关系求解．
解答： 解：如图，
则可在△AOB中求解，
假设AB=14，
则 （AC+BD）＞AB，
而对于选项A、B、C、D来说，显然只有C符合题意，
故此题选C．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质及三角形的三边关系，能够熟练求解．
10．下列说法正确的是（ ）
A． 两条对角线相等的四边形是平行四边形
B． 两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
C． 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D． 两条对角线平分且相等的四边形是正方形
考点： 正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
分析： 利用平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理逐一判断后即可确定本题的答案．
解答： 解：A、两条对角线相等的四边形是平行四边形，错误，不符合题意；
B、两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形，错误，不符合题意；
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形，错误，不符合题意；
故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理，属于基础题，难度不大．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可．
解答： 解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1?2x≥0，
解得：x≤ ．
故答案是：x≤ ．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．
12．若|a?2|+ =0，则a?b= 5 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
分析： 根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答： 解：由题意得，a?2=0，b+3=0，
解得a=2，b=?3，
所以，a?b=2?（?3）=2+3=5．
故答案为：5．
点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13．命题“菱形是对角线互相垂直的四边形”的逆命题是
对角线互相垂直的四边形是菱形． ．
考点： 命题与定理．
分析： 逆命题的概念就是把原来的题设和结论互换，因此可得到命题“菱形是对角线互相垂直的四边形”的逆命题．
解答： 解：命题“菱形是对角线互相垂直的四边形”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”．
故答案为：对角线互相垂直的四边形是菱形．
点评： 本题考查逆命题的概念，逆命题就是把原来命题的题设和结论互换，以及能正确找出题设和结论．
14．计算（? ）2= 3 ，（3 ）2= 18 ．
考点： 二次根式的乘除法．
分析： 直接利用二次根式的性质化简求出即可．
解答： 解：（? ）2=3，（3 ）2=9×2=18．
故答案为：3，18．
点评： 此题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．
15．正方形的一边和一条对角线所成的角是 45° ．
考点： 正方形的性质．
分析： 根据正方形的对角线平分一组对角解答．
解答： 解：正方形的一边和一条对角线所成的角是45°．
故答案为：45°．
点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，需熟记．
16．如图所示，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 AE=AF或AC⊥EF或∠EAC=∠ECA ．（只要写出一个即可，图中不能再添加别的“点”或“线”）
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
专题： 开放型．
分析： 菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．
解答： 证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠AEB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
同理FD=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
故答案为：AC⊥EF（或AE=AF或∠EAC=∠ECA）．
点评： 本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解．
17．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是 菱 形．
考点： 菱形的判定；三角形中位线定理；矩形的性质．
分析： 连接矩形对角线．利用矩形对角线相等、三角形中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，且EF=EH=HG=FG；然后由四条边相等的平行四边形是菱形推知四边形EFGH是菱形．
解答： 解：如图E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点．连接AC、BD．
∵AC=BD（矩形的对角线相等），EF AC，HG AC，
∴EF∥HG，且EF=HG= AC；
同理HE∥GF，且HE=GF= BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，且EF=EH=HG=FG，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案是：菱形．
点评： 本题综合考查了三角形中位线定理、菱形的判定以及矩形的性质．解答该题的关键是根据三角形中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，且四边形EFGH的四条边都相等．
18．矩形的一条角平分线分对边为3和4两部分，则矩形周长为 20或22 ．
考点： 矩形的性质．
分析： 根据矩形的性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，推出∠AEB=∠CBE，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB，推出AB=AE=CD，分为两种情况，代入求出即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
当AE=3时，AB=AE=3=CD，AD=3+4=7=BC，
∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3+3+7+7=20；
当AE=4时，AB=AE=4=CD，AD=3+4=7=BC，
∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=4+4+7+7=22；
故答案是：20或22．
点评： 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是求出AB的长，注意要进行分类讨论．
19．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，则AD= 3 ，CD= 2 ．
考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的对边相等解答即可．
解答： 解：∵AB=2，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=2．
故答案为：3，2．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，是基础题，主要利用了平行四边形的对边相等，熟记性质是解题的关键．
20．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为 ．
考点： 等腰直角三角形．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 利用勾股定理，分别把图中直角三角形的斜边求出，从中即可发现规律．
解答： 解：根据勾股定理，在①中，斜边是 ，在②中，斜边是 = ，在③中，斜边是 = ，以此类推，则第n个等腰直角三角形中的斜边是 ．
点评： 此题要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．
三、解答题（共60分）
21．计算：
（1）（ + ）2007×（ ? ）2006．
（2）（ ?1）2?（ + ）（ ? ）
（3）（?1）2012?|?7|+ （ ?1）0+（ ）?1．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）先根据积的乘方得到原式=[（ + ）（ ? ）]2006•（ + ），然后利用平方差公式计算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（3）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=1?7+3×（?1）+5，然后进行乘法运算后合并即可．
解答： 解：（1）原式=[（ + ）（ ? ）]2006•（ + ）
=（6?5）2006•（ + ）
= + ；
（2）原式=3?2 +1?（3?2）
=4?2 ?1
=3?2 ；
（3）原式=1?7+3×（?1）+5
=2．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
22．先化简，再求值：（a?1+ ）÷（a2+1），其中a= ?1．
考点： 分式的化简求值．
分析： 这道求分式值的题目，不应考虑把a的值直接代入，通常做法是先把分式通，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．
解答： 解：原式=（ ）• ，
= • ，
= ，
当a= ?1时，
原式= = ．
点评： 此题主要考查了分式的计算，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算
23．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，已知AC=8cm，BD=6cm，求OE的长．
考点： 菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
专题： 计算题．
分析： 根据菱形的性质及中位线定理解答．
解答： 解：∵ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD，OB⊥OC（3分）
又∵AC=8cm，BD=6cm
∴OA=OC=4cm，OB=OD=3cm（5分）
在直角△BOC中，
由勾股定理，得BC= =5cm（6分）
∵点E是AB的中点
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE= cm．（7分）
点评： 本题考查菱形的性质及三角形的中位线的运用．
24．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中点．
求证：DE=CF．
考点： 平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形BDEF是平行四边形；再根据平行四边形的对边相等可得DE=BF；由中点的定义可得BF=CF；由等量代换可得DE=CF．
解答： 证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形．（2分）
∴DE=BF．（3分）
∵F是BC的中点，
∴BF=CF．（4分）
∴DE=CF．（5分）
点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质以及线段中点的定义．题目难度不大，解题时要注意数形结合．
25．如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=6，求：
（1）对角线的长；
（2）BC的长；
（3）矩形ABCD的面积．
考点： 矩形的性质；勾股定理．
分析： （1）根据矩形的性质和等边三角形的判定定理得到△AOB是等边三角形，则OB=AB=6，故BD=2OB=12；
（2）在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度；
（3）根据“矩形的面积=长×宽”进行解答．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB= BD．
又∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=6，
∴对角线BD的长度是：BD=2OB=12；
（2）由（1）知，矩形ABCD的对角线长是12，则AC=12．
在直角△ABC中，AB=6，AC=12，则由勾股定理得到：BC= =6 ；
（3）在矩形ABCD中，AB=6，BC=6 ，则该矩形的面积=AB•BC=6×6 =36 ．
点评： 本题考查了矩形的性质、勾股定理．解题的关键是根据已知条件判定△AOB是等边三角形．
26．如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，试判断四边形OCED的形状．
考点： 菱形的判定．
分析： 首先可根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四边形OCED是菱形．
解答： 证明：四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
点评： 本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定；
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
27．如图ABCD是一个正方形花园．E、F是它的两个门且分别是AD、CD的中点，要修两条路BE和AF
1）如图a，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
2）如图b，若点E、F不是正方形ABCD的边的中点但满足DE=CF，那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
考点： 全等三角形的应用；正方形的性质．
分析： （1）这条路等长，位置关系是垂直，根据正方形的性质证明△ADF≌△BAE，所以可得BE=AF，进而证明BE⊥AF；
（2）这条路等长，位置关系是垂直，根据（1）的思路证明△ADF≌△BAE即可．
解答： 1）解：这条路等长，位置关系是垂直，
理由如下：
∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF．
故BE=AF，BE⊥AF；
2）这条路等长，位置关系是垂直，
理由如下：
∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF．
故BE=AF，BE⊥AF．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂直的判定，属基础题．
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