第二十六章二次函数章末测试（一）

                                          总分120分120分钟    
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　　）
 
A．y=  B．y=?  C．y=?  D．y=
2．把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y=?x2+50x B．y=x2?50x C．y=?x2+25x D．y=?2x2+25

3．二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（　　）
A．  B．  C．  D．

4．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）
 
A．?2＜x＜2 B．?4＜x＜2 C．x＜?2或x＞2 D．x＜?4或x＞2
5．抛物线y=x2?4x?7的顶点坐标是（　　）
A．（2，?11） B．（?2，7） C．（2，11） D．（2，?3）

6．若抛物线y=x2?2x+c与y轴的交点为（0，?3），则下列说法不正确的是（　　）
A．抛物线开口向上             B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为4     D．抛物线与x轴的交点为（?1，0），（3，0）

7．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　）
 
A．2m B．3m C．4m D．5m
8．如图，有一座抛物线拱桥，当水位在AB位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽CD为（　　）
 
A．5m B．6m C． m D． m
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．函数 与y2=x+2的图象及交点如图所示，则不等式x2＜x+2的解集是　_________　．
 
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是　_________　．
 
11．抛物线y= x2?4x+3的顶点坐标和对称轴 分别是　_________　．
12．抛物线y=x2?（m2?3m+2）x+m2?4的图象的对称轴是y轴，且顶点在原点，则m的值为　_________　．
13．若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a=　_________　．
14．如图，一块草 地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．
 
三．解答题（共10小题）
15．（6分）已知正方形的面积为y（cm2），周长为x（cm ）．
（1）请写出y与x的函数关系式．
（2）判断y是否为x的二次函数．

16．（6分）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
 
17．（6分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
 

18．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，?5），B（1，?3），C（?1，11）三点，求抛物线的顶点坐标及对称轴．

19．（8分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
 

 

20．（8分）已知抛物线的顶点坐标是（2，?3），且经过点（1，? ）．
（1 ）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象；
（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

 

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（?1，0）和点B（1，0），直线y=2x?1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标．
 

22（8分）．根据下列条件求二次函数解析式：
（1）二次函数的图象过点（0，?1），对称轴是直线x=?1，且二次函数有最大值2．
（2）二次函数的图象过点（5 ，6），与x轴交于（?1，0），（2，0）两点．

 

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y= x2+bx+c上．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线y= x2+bx+c的解析式；
（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y= x2+bx+c上，求平移的距离．
 

 

24（10分）．如图，已知二次函数y=? x2+ x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为　_________　，点C的坐标为　_________　；
（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；
（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
 
 

第二十六章二次函数章末测试（一）
参考答案与试题解析

 一．选择题（共8小题）
1．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　　）
 
A． y=  B．y=?  C．y=?  D． y=

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符合最简形式y=ax2，把点A或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式．
解答： 解： 依题意设抛物线解析式y=ax2，
把B（5，?4）代入解析式，
得?4=a×52，
解得a=? ，
所以y=? x2．
故选C．
点评： 根据抛物线在坐标系的位置，合理地设抛物线解析式，是解答本题的关键．

2．把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　）
A． y=?x2+50x B．y=x2?50x C．y=?x2+25x D． y=?2x2+25

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 由长方形的面积=长×宽可求解．
解答： 解：设这个长方形的一边长为xcm，则另一边长为（25?x）cm，
以面积y=x（25?x）=?x2+25x．
故选C．
点评： 根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．

3．二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（　　）
A．  B． C．  D． 

考点： 二次函数的图象．
分析： 由图象判定k＜0，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，选择符合条件的选项．
解答： 解：因为二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=? ＞0，
观察图象可知，符合上述条件的只有C．故选C．
点评： 应熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象有关性质：开口方向、顶点坐标、对称轴．

4.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）
 
A． ?2＜x＜2 B．?4＜x＜2 C．x＜?2或x＞2 D． x＜?4或x＞2

考点： 二次函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞0时，x的取值范围．
解答： 解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=?1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（?4，0），
因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，
此时，?4＜x＜2．
故选B．
点评： 解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．

5抛物线y=x2?4x?7的顶点坐标是（　　）
A． （2，?11） B．（?2，7） C．（2，11） D． （2，?3）

考点： 二次函数的性质．
分析： 直接根据顶点公式或配方法求解即可．
解答： 解：∵ =2， =?11，
∴顶点坐标为（2，?11）．
故选A．
点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．

6．若抛物线y=x2?2x+c与y轴的交点为（0，?3），则下列说法不正确的是（　　）
 A． 抛物线开口向上                   B． 抛物线的对称轴是x=1
C． 当x=1时，y的最大值为4         D． 抛物线与x轴的交点为（?1 ，0），（3，0）

考点： 二次函数的性质．
专题：  压轴题．
分析： 把（0，?3）代入抛物线解析式求c的值，然 后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．
解答： 解：把（0，?3）代入y=x2?2x+c中得c=?3，
抛物线为y=x2?2x?3=（x?1）2?4=（x+1）（x?3），
所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，
当x=1时，y的最小值为?4，
与x轴的交点为（?1，0），（3，0）；C错误．
故选C．
点评： 要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．

7．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　）
 
A． 2m B．3m C．4m D． 5m

考点： 二次函数的应用．
分析： 由题意可以知道M（1， ），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
解答： 解：设抛物线的解析式为y=a（x?1）2+ ，由题意，得
10=a+ ，
a=? ．
∴抛物线的解析式为：y=? （x?1）2 + ．
当y=0时，
0=? （x?1）2+ ，
解得：x1=?1（舍去），x2=3．
OB=3m．
故选：B．
点评： 此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时 设抛物线的顶点式求解析式是关键．

8．如图，有一座抛物线拱桥，当水位在AB位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽CD为（　　）
 
A． 5m B．6m C． m D．  m

考点： 二次函数的应用．
分析： 设抛物线的解析式为y=ax2将A点代入抛物线方程求得a，得到抛物线解析式，再把 y=?3代入抛物线解析式求得x0进而得到答案．
解答： 解：设抛物线方程为y=ax2，
将A（2，?2）代入y=ax2，
解得：a=? ，
∴y=? x2，
代入B（x0，?3）得x0= ，
∴水面宽CD为2 ，
故选D．
点评： 本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力．

二．填空题（共6小题）
9．函数 与y2=x+2的图象及交点如图所示，则不等式x2＜x+2的解集是　?1＜x＜2　．
 

考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图象上方时，不等式x2＜x+2，进而得出答案．
解答： 解：利用图象得出函数 与y2=x+2的图象交点坐标分别为：（?1，1）和（2，4），
∴不等式x2＜x+2的解集为：?1＜x＜2．
故答案为：?1＜x＜2．
点评： 此题主要考查了二次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是解题关键．

10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知ax2+bx+c＞0时x的取值范围是　?1＜x＜5　．
 

考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：由 图可知，二次函数图象为直线x=2，
所以，函数图象与x轴的另一交点为（?1，0），
所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是?1＜x＜5．
故答案为：?1＜x＜5．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图象与x轴的另一个交点是解题的关键．

11．抛物线y= x2?4x+3的顶点坐标和对称轴分别是　（4，?5），x=4　．

考点： 二次函数的性质．
 分析： 根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求出顶点坐标，对称轴．
解答： 解：∵y= x2?4x+3= （x?4）2?5，
∴顶点坐标为（4，?5），对称轴为x=4．
故答案为（4，?5），x=4．
点评： 主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．通常有两种方法：
（1）公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（ ， ），对称轴是x=? ；
（2）配方法：将解析式化为顶点式y=a（x?h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

12．抛物线y=x2?（m2?3m+2）x+m2?4的图象的对称轴是y轴，且顶点在原点，则m的值为　2　．

考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据二次函数对称轴直线x=? =0，得到m2?3m+2=0，再由顶点在原点得到m2?4=0，然后分别解两个一元二次方程，再得到它们 的公共解即可．
解答： 解：根据题意得m2?3m+2=0且m2?4=0，
解m2?3m+2=0得m=1或2，解m2?4=0得m=2或?2，
所以m的值为2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（? ， ），对称轴直线x=? ．

13．若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a=　4或?1　．

考点： 二次函数的性质．
分析： 直接利用二次函数顶点坐标公式得出 =3，进而求出即可．
解答： 解：∵抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，
∴ =3，
整理得出：a2?3a?4=0，
解得：a1=4，a2=?1，
检验：当 a=4或?1时，都是方程的根，
故答案为：4或?1．
点评： 此题主要考查了二次函数的性质，直接利用顶点公式求出是解题关键．

14．如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．
 

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 把两条路进行平移，与长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，那么草坪就变成了边长为（80?x）和（60?x）的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式，其中自变量的取值应根据原来长方形的长、宽确定．
解答： 解：依题意得把两条路分别进行平移，
长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，
∴草坪就变成了边长为（80?x）和（60?x）的长方形，
∴y=（80?x）（60?x）=x2?140x+4800，
自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即0＜x＜60．
故填空答案：y=（80?x）（60?x）=x2?140x+4800（0＜x＜60）．
点评： 解决本题的关键是把两条路进行平移，使草坪的面积成为一长方形的面积．

三．解答题（共10小题）
15．已知正方形的面积为y（cm2），周长为x（cm）．
（1）请写出y与x的函数关系式．
（2）判断y是否为x的二次函数．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的定义．
分析： （1）根据正方形的周长为x（cm），即可得出边长，进而得出正方形的面积为y与x之间的函数关系式；
（2）利用函数的定义判断得出即可．
解答： 解：（1）∵正方形的周长为x（cm），
∴正方形的边长为： xcm，
∴y与x的函数关系式为：y= x× x= x2；

（2）利用二次函数的定义得出y是x的二次函数．
点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用正方形的性质得出是解题关键．

16．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
 

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．
解答： 解：由题意得：y=x× =? x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．

17．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
 

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： △BPQ的面积= BP×BQ，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可．
解答： 解：∵PB=6?t，BE+EQ=6+t，
∴S= PB•BQ= PB•（BE+EQ）
= （6?t）（6+t）
=? t2+18，
∴S=? t2+18（0≤t＜6）．
点评： 解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑．

18．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，?5），B（1，?3），C（?1，11）三点，求抛物线的顶点坐标及对称轴．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
分析： 将A、B、C三点代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解这个方程组得a、b、c的值，得到抛物线的解析式，然后将该抛物线解析式通过配方，转化为顶点式解析式，最后找出其顶点坐标和对称轴．
解答： 解：由题意得
 ，
解得 ，
所以这个抛物线的表达式为y=8x2?6x?5；
配方得y=8（x? ）2? ，所以顶点坐标为（ ，? ），
点评： 本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式以及求二次函数的顶点坐标和对称轴，通过配方得到顶点式是本题的关键．
19．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
 

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
分析： （1）观察图象直接写出三点的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；
（2）将解析式配成顶点式即可解决问题；
（3）运用二次方程根的判别式列出不等式求解即可解决问题．
解答： 解：（1）由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（?1，0）、（0，?3）、（4，5）；
设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
由题意得：
 ，
解得：a=1，b=?2，c=?3，
∴该抛物线解析式为：y=x2?2x?3．
（2）由（1）知：y=x2?2x?3=（x?1）2?4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，?4），对称轴为x=1．
（3）由题意得：x2?2x?3=m，
即x2?2x?3?m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
则必有△=（?2）2?4×1×（?3?m）＞0，
解得：m＞?4．
即当m＞?4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．
 
点评： 该命题以平面直角坐标系为载体，重点考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

20．已知抛物线的顶点坐标是（2，?3），且经过点（1，? ）．
（1）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象；
（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）根据题意设出抛物线的顶点形式，把已知点代入求出a的值，确定出解析式，画出函数图象即可；
（2）利用二次函数的增减性求出x的范围即可．
解答： 解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x?2）2?3，
把x=1，y=? 代入得：? =a?3，即a= ，
则抛 物线解析式为y= x2?2x?1；
（2）当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．
 
点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（?1，0）和点B（1，0），直线y=2x?1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标．
 

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
分析： （1）先求得C的坐标，然后证得C为抛物线的顶点，即可设抛物线的解析式为y=ax2?1，把A（?1，0）代入即可求得；
（2）联立方程，解方程组即可求得．
解答： 解：（1）∵直线y=2x?1与y轴交于点C，
∴C的坐标（0，?1），
∵抛物线与x轴交于点A（?1，0）和点B（1，0），
∴对称轴为y轴，
∴C点 就是抛物线的顶点，
设把A（?1，0）代入得，a?1=0，
∴a=1，
∴抛物 线的解析式为y=x2?1．
（2）解 得 或 ，
所以D的坐标为（2，3）．
点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及直线和抛物线的交点的求法．

22．根据下列条件求二次函数解析式：
（1）二次函数的图象过点（0，?1），对称轴是直线x=?1，且二次函数有最大值2．
（2）二次函数的图象过点（5 ，6），与x轴交于（?1，0），（2，0）两点．

考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： （1）由题意二次函数的图象的对称轴为x=1，函数的最大值为?6，可设二次函数为：y=a（x+1）2+ 2，且函数过点（0，?1）代入函数的解析式求出a值，从而求出二次函数的解析式．
（2）根据与x轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x?2）（x+1），然后把点（5，6）的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
解答： 解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为x=?1，函数的最大值为2，
∴可设函数解析式为：y=a（x+1）2+2，
∵函数图象经过点（0，?1），
∴a×1+2=?1，
∴a=?3，
∴二次函数的表达式为：y=?3（x+1）2+2，
即y=?3x2?6x?1；
（2）∵二次函数的图象交x轴于（?1，0）、（2，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x?2）（x+1）（a≠0）．
将x=5，y=6代入，得6=a（5?2）（5+1），
解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= （x?2）（x+1），
即y= x2? x? ．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式时，注意合理利用抛物线解析式的三种形式．

23．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛物线y= x2+bx+c上．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线y= x2+bx+c的解析式；
（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y= x2+bx+c上，求平移的距离．
 
考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）由图中的三个小正方形的边长为1，根据图形可以知道B点的横坐标为1，做那个坐标为3，从而得出点B的坐标．
（2）根据图象求出点A的坐标，再把A、B的坐标代入解析式，根据待定系数法就可以求出b、c的值，从而求出抛物线的解析式．
（3）实际上就是当y=1时代入解析式就可以求出平移后点F′的横坐标，就可以求出E′点的坐标，此时OE′?3就是平移的距离．
解答： 解：（1）由图象，得B（1，3）．

（2）由题意，得A（0，2）
∴ ，解得：
 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ．

（3）当y=1时，
∴ 解得：
x= 或 （不符合题意应舍去），
∴F′（ ，1），
∴E′（ ，0），
∴OE′= ，
∴平移的距离为： ．
点评： 本题是一道二次函数综合试题，考查了求点的坐标，用待定系数法求函数的解析式，平移的运用等知识．

24如图，已知二次函数y=? x2+ x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为　（0，4）　，点C的坐标为　（8，0）　；
（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；
（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 点E的坐标；若不存在，请说明理由．
 

考点： 二次函数综合题；点的坐标；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；三角形的面积；等腰三角形的判定．
分析： （1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．
（2）根据（1）中点的坐标得出AB，BC，AC的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可；
（3）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：
①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；
②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；
③CD =CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．
解答： 解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y=0得： ，
即：x2?6x?16=0，
∴x=?2和x=8，
∴点B的坐标为（?2，0），点C的坐标为（8，0）．
故答案为：A（0，4），C（8，0）；

（2）∵点A的坐标为（0，4），
∴AO=4，
∵点B的坐标为（?2，0），点C的坐标为（8，0），
∴BO=2，CO=8，∴BC=10，
∴AC= =4 ，
∴AB= =2 ，
∴AB2+AC2=100，
∵BC2=1 00，
∴AB2+AC2= BC2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）易得D（3，0），CD=5，
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
 ，
解得  ；
∴y=? x+4；
①当DE=DC时，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE= =4，
∴E1（0，4）；
②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+ = ，
进而将x= 代入y=? x+4，得出y= ，
可得E2（  ， ）；
③当DC=EC时， 如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴ ，
即EG= ，CG=2  ，
∴E3（8?2  ， ）；
综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（  ， ）、E3（8?2  ， ）．
 
点评： 此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、图形面积的求法等知识，（3） 题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．
 

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