大兴区2012-2013学年度第一学期期中检测试卷
初三数学
考生须知本试卷共四页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2.在试卷和答题纸上准确填写学校、班级和姓名。
3.试题答案一律写在答题纸上，在试卷上作答无效。
（本题共32分，每小题4分）
　　下列每小题均的四个选项中，只有一个是正确的。请将下列各小题正确选项前的字母填写在下表相应题号下面的空格内。
题号12345678
答案
　　
1.下列函数关系式中，一定是反比例函数的是
A. B. C. D.
2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使
△ABC∽△PQR，则点R应是甲乙丙丁四点中的
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.函数的图象经过点，则下列各点中在图象
上的是
A. B. C. D.
4.下列叙述正确的是
A.所有的直角三角形都相似 B.所有的等腰三角形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的矩形都相似
5.当时，正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为

A. B. C. D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，AE:EB=1:2，
若，则为
A. B.
C. D.
7.二次函数的图象如图，则点在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.反比例函数的图象与二次函数
的图象的交点，最多有
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
题（本题共16分，每小题4分）
9.如图，在△ABC中，若D、E分别是AB、AC上的点，
且DE//BC，AD=1，BD=2，则DE:BC=
10.如图，P是反比例函数的图象上的一点，
PA⊥轴于点A，则△PAO的面积是
11.已知抛物线的对称轴为，
且过，则=
12.某商店将每件进价为8元的某种商品，以每件10元出售，
　　一天可销出约100件，该店向通过降价售价、增加销售量
　　的办法提高利润。经过市场调查，发现这种商品单价每
　　降价0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降
　　低元时，则销售利润 。
解答题(共72分)
13.（本小题4分）
　　如图，在大小为的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正
　　方形的顶点上，请在图中画出一个△,使得△∽△ABC
　　（相似比不为1），且顶点,,都在单位正方形的顶点上。
　　

（本小题5分）
已知:如图，在△ABC中，AC=9，BC=6，请问，在边AC上是否存在一点D，使
△ABC∽△BDC？若存在请求出CD的长，若不存在，请说明理由。

（本小题5分）
如图，一次函数与反比例函数的图
象交于A，B两点.
⑴ 求一次函数的解析式；
⑵根据图象直接写出时的取值范围。

（本小题5分）
已知:如图,E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且AB.AD=AC.AE,∠1=∠2.
求证：∠ABC=∠AED.

（本小题5分）
有一水池装水12立方米，如果从水管流出立方米的水，则经过小时可
以把水放完，请你写出与的函数关系式及自变量的取值范围，并画出
此函数的图象.

（本小题5分）
已知函数（为常数），求的值.

（本小题5分）
某厂从2008年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本
不断降低，具体数据如下表：

年度2008200920102011
投入技改资金(万元)2.5344.5
产品成本y(万元/件)7.264.54
请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式。

20.（本小题5分）
　　已知:如图，双曲线与直线相交于A、B两点。第一象限上的点
　　（在A点左侧）是双曲线上的动点。过点B作BD∥y轴交轴于点D。过N
　　 作NC∥轴交双曲线于点E,交DB的延长线于点C.
⑴若点D坐标是（-8,0），求A、B两点的坐标及k的值；
⑵若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线C的解析式。

21.（本小题5分）
　　 已知，在△ABC中，AB>AC，AD=AE,DE与BC的延长线交于点。
　　 求证: B:C=BD:CE.
22.（本小题6分）
　　 如图所示，有一座抛物线拱桥，桥下面在正常水位AB时，水面宽20，水位上升3
　　 就达到警戒线CD，这时水面宽度为10。
　　（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
　　（2）若洪水到时，水位以每小时0.2的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时
　　 才能到达拱桥顶？

23.（本小题7分）
已知:如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点(点D与点B不重合)，以CD为
一边，向上作等边△EDC，连结AE。
⑴求证：AE∥BC；
⑵将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC改成相似
于△ABC如图（2）.请问:是否仍有AE∥BC?证明你的结论。

24.（本小题7分）
王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长60c的正方形板子；另一块是上底为30c，下底为120c，高为60c的直角梯形板子（如下图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板材叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．
求FC的长；
利用图②，求顶点B所对的顶点到BC边的距离为多少时，矩形的面积最大？最大面积
是多少？

25.（本小题8分）
如图，抛物线与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原
点，点A的坐标为，点B在第四象限内，过点B作直线BC∥轴，点C为
直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与轴之间的距离是点B到轴的距离
的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；

大兴区2012-2013学年度第一学期期中检测试卷
初三数学参考答案及评分标准
一、：（每小题4分，共32分）
题号12345678
答案DCBCCADB
二、题：（每小题4分，共16分）
9． 1:3 ．　10． 2 .　11． 0 ．　12． (0≤x≤2)
三、解答题：（共72分）
13．（本小4题分）
说明：画图正确给4分，错误得0分
14. （本小题5分）
答：存在. ……………………………………………………1分
解：在AC上取点D，使得∠BDC=∠ABC，……………3分
∵ ∠C=∠C，
　　∴ △ABC∽△BDC.
　　∴ . ………………………………………4分
　　∴ ………………………………5分
15.（本小题5分）
解：
（1）∵点A（，6）、B（n，3）在函数y=图象上，
　　　∴=1，n=2，
　　　∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），…………………………2分
　　　把（1，6）、（2，3）代入一次函数y=kx+b中，
　　　
　　　得,
　　　解得，………………………………………………………………………3分
　　　∴一次函数的解析式为y=?3x+9； ………………………………………………4分
（2）由图象知：1＜x＜2． … ……………………………………………………………5分

16.（本小题5分）
证明：∵AB?AD=AC?AE
　　　∴… …………………………………1分
　　　∵∠1＝∠2，
　　　∴∠BAC＝∠EAD. ………………………………3分
　　　∴△ABC∽△AED　………………………………4分
　　　∴∠ABC＝∠AED．………………………………5分

17.（本小题5分）
解：y与x的函数关系式为. …………………………………………2分
　　　自变量x的取值范围是x>0. …………………………………………4分

………………………………………5分

18．（本小题5分）
解：（1）当时，函数为二次函数，… …………………………………1分
解得a=1. … …………………………………………………………………2分
　　（2）当时，函数为一次函数， ………………………3分
　　　　解得a=0. … …………………………………………………………………4分
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0. ………5分
19．（本小题5分）
解：设其为一次函数，解析式为.
当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6.
　　所以，.
　　解得，k=-2.4，b=13.2 .
　　所以，一次函数解析式为… ……………………………1分
　　把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，左边≠右边，
　　所以，其不是一次函数. … ……………………………… ……………2分
　　同理，其也不是二次函数. … ……………………………… ……………3分
设其为反比例函数，解析式为.
　　当x=2.5时，y=7.2.可求得k=18.
　　所以，反比例函数解析式为. ……………………… ……………4分
　　验证：当x=3时，y=6，符合反比例函数.
　　同理可验证x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立.
　　所以，可用反比例函数表示其变化规律. ………… ……………5分
20.（本小题5分）
解：（1）∵D（－8，0），
　　　　∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．
　　　　∴B点坐标为（－8，－2）．
　　　　而A、B两点关于原点对称，
　　　　∴A（8，2）．
　　　　从而．………………………2分
　　（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、、E四点均在双曲线上，
　　　　∴，B（－2，－），C（－2，－n），E（－，－n）．
　　 S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =，
　　 ∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．
　　　　∴．……………………………………………3分
　　　　　由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），
　　　　∴C（－4，－2），（2，2）．……………………………4分
　　　　设直线C的解析式是，由C、两点在这条直线上，得
　　　　　　 解得．
　　　　∴直线C的解析式是．………………………5分
21．（本小题5分）
证明：过点C作CF∥BA，交D于点F，…………………1分
　　　∴ △BD∽△CF . …………………………………2分
∴ B:C=BD:CF. ……………………………………3分
∵ CF∥BA， ∴ △ADE∽△CFE .
∴ AD:CF=AE:CE.
又∵AD=AE,
　　　∴ CF=CE. …………………………………………4分
∴B:C=BD:CE. ………………………………5分
22.（本小题6分）
解：（1）设所求抛物线的解析式为.
依题意，D（5，b），则B（10，b-3），…………………2分
∴ .
解得， ……………………………………3分
∴抛物线的解析式为……………………………4分
（2）∵b=-1，
　　　∴（小时）. ………………………………………5分
　　　答：再持续5小时到达拱桥顶. ……………………………6分
23.（本小题7分）
（1）证明：∵ △ABC和△EDC均为等边三角形，
　　　 ∴ BC=AC，DC=EC,∠BCA=∠DCE=60°. …………1分
∴ ∠BCD=∠ACE. ……………………………2分
∴ △BCD≌△ACE． ……………………………3分
∴ ∠B=∠EAC=∠ACB
　　　　∴ AE∥BC． ……………………………4分
（2）答：仍有AE∥BC. ……………………………5分
　　　证明：∵△ABC和△EDC均为等腰三角形，且△EDC∽△ABC，
　　　　　∴，∠BCA=∠DCE.
　　　　　∴∠BCD=∠ACE.
　　　　　∴△BCD∽△ACE． ……………………………6分
　　　　　∴∠B=∠EAC=∠ACB.
　　　　　∴AE∥BC． …………………………………7分
24．（本小题7分）
解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF，
∴，
　　　　∴
　　　　∴ ………………………………………3分

（2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，点P到BC的距离为c，矩形的面积为
y c2，则
①当顶点P在AE上时，，
的最大值为……………………………………4分
　　　　
　　　　②当顶点P在EF上时，过点P分别作于点N，
　　　　于点.
　　　　根据题意，得△GFC∽△GPN
　　　　∴，∴，∴
　　　　∴
　　　　∴当x=40时，y的最大值为2400（c2） ……………………5分
　　　　③当顶点P在FC上时，的最大值为60×40=2400(c2)。 ……6分
　　　　综合①②③，得x=40c时，矩形的面积最大，最大面积为2400 c2
　　　　………………………………………………………………………………7分

25、（本小题8分）
解：（1）∵点A（?2，2）在双曲线y=上，
∴k=?4，………………………………………………1分
∴双曲线的解析式为y=?， ………………………2分
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（，?4）（＞0）代入双曲线解析式得=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（?2，2）、B（1，?4）、O（0，0），

∴，
解得：，
故抛物线的解析式为y=?x2?3x；……………………………4分

（2）∵抛物线的解析式为y=?x2?3x，
∴顶点E（?，），对称轴为x=?，
∵B（1，?4），
∴?x2?3x=?4，
解得：x1=1，x2=?4，
∴C（?4，?4），
∴S△ABC=5×6×=15， ………………………………………6分
由A、B两点坐标为（?2，2），（1，?4）可求得直线AB的解析式为：y=?2x?2，
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（?，1），
∴EF=?1=，
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=；…………………………8分

说明：以上各题的其他解法，只要正确，请参照本评分标准给分！

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