黄冈启黄中学2013年秋季九年级入学考试数学试题
时间：120分钟　　　满分：120分
命题人：

一、（每小题3分，共24分）
1、若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜3B．x＞3C．x≤3D．x≥3
2、若关于x的一元二次方程（a＋1）x2＋x＋a2－1=0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1B．－1C．1或－1D．
3、如图，在正方形ABCD中有一点E，把△ABE绕点B旋转到△CBF，连接EF，则△EBF的形状是（　　）

A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
4、如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD=（　　）
A．35°B．45°C．55°D．75°

5、今年福安白云山千古冰臼群迎来旅游高峰，前三天的游客人数共计约5.1万人，其中第一天的游客人数是1.2万人，假设每天游客增加的百分率相同，且设为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．1.2（1＋x）2=5.1B．1.2（3＋x）2=5.1
C．1.2（1＋2x）2=5.1D．1.2＋1.2（1＋x）＋1.2（1＋x）2=5.1
6、已知，n是方程x2－2x－1=0的两根，且（72－14＋a）（3n2－6n－7）=8，则a的值为（　　）
A．－5B．5C．－9D．9
7、如图，⊙O的半径为2 ，弦 ，点C在弦AB上， ，则OC的长为（　　）

A． B． C． D．
8、如图，AB为⊙O的直径，点为半圆的中点，点P为半圆上的一点（不与A．B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：
①∠AP=45°；② ；③∠BI=∠BAP；④ ．
其中正确的个数有（　　）

A．1个　 B．2个　 C．3个　　　　 D．4个
二、题（每小题3分，共21分）
9、 ______________________.
10、若把代数式x2－3x＋2化为（x－）2＋k的形式，其中，k为常数，则＋k=___________．
11、已知a＜0，则点P（a2，－a＋3）关于原点的对称点P1在第_____________象限．
12、如图，N为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过点A作AC⊥N于点C，过点B作BD⊥N于点D，P为DC上的任意一点，若N=20，AC=8，BD=6，则PA＋PB的最小值为__________.

13、已知 ，且x为偶数，则 的值为_____________．
14、如图，把△ABC绕点B逆时针旋转26°得到△EBF，若EF正好经过A点，则∠BAC=_____________．

15、如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1，点P（a，0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为________________．

三、解答题（共75分）
16、解下列方程（每小题4分，共8分）
（1）x2－2x=1（2）3x2－4x＋1=0

17、（6分）已知实数x、y满足 ，求 的值．

18、（7分） 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为CD边上的一点，DE=1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，求EE′的长.

19、（7分）在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠B=25°．
（1）求∠APD的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．

20、（7分）某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价；（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．

21、（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两实根，且 ，求k的值．

22、（8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O与AC相切于点F，⊙O的半径为2c，AB=AC=6c，求∠A的度数．

23、（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5c，BC=7c．点P从点A开始沿AB边向点B以1c/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2c/s的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4c2？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5c？
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，△PBQ的面积能否等于8c2？说明理由.由此思考：△PBQ的面积最多为多少c2？

24、 （14分） 如图1，AD为⊙O的直径，B、C为⊙O上两点，点C在 上，且 ，过A点作⊙O的切线，交DB的延长线于点E，过点E作DC的垂线，垂足为点F．
（1）求证：∠AED=∠ADF；
（2）探究BD、BE、EF三者之间数量关系，并证明；
（3）如图2，若点B在 上，其余条件不变，则BD、BE、EF三者之间又有怎样的数量关系？请证明；
（4）在（3）的条件下，当AE=3，⊙O半径为2时，求EF的长．

参考答案及解析：
一、
1、D 2、A 3、D 4、A 5、D 6、C 7、B
8、C　提示：①②④正确，对于②，连接B，证明I=B，又 ，故②正确；对于③，∵I=B，∴∠BI=∠BI，又∠BAP=∠BI，若③正确，除非△IB为等边三角形，而P是动点，∠PB不一定为60°，故③错误；对于④，连接O，易证 ， ，故④正确．
二、题
9、 10、 11、三
12、
解析：作点B关于N的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接OA，OB?
∵N=20，
∴⊙O的半径为10．
则在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，
?
同理OC=6．
∴CD=OC＋OD=6＋8=14．
易证四边形B′ECD是矩形，∴B′E= CD= 14，CE=B′D= BD=6，
∴AE=AC＋CE=8＋6=14．
．

13、3 14、77° 15、±1，±3

三、解答题
16、（1）
（2）

17、解析： ，
?
而 ，
∴2x＋y=0，y－2=0?
∴x=－1，y=2，于是x＋y=1．

18、解析：由旋转可知，△ABE′≌ △ADE，则BE′=DE=1，∠ABE′=∠ADE=90°，
于是∠ABE′＋∠ABC=180°，所以点E′、B、C三点共线．
在Rt△E′CE中，E′C=5，CE=3，
由勾股定理可得， ．

19、解析：（1）因为∠C=∠B=25°，∠CAB=40°，
所以∠APD=∠C＋∠CAB=65°?
（2）过点O作OE⊥BD，垂足为E，则OE=3 ，
由垂径定理可知BE=DE?
又∵OA=OB，
∴线段OE是△ABD的中位线，
∴AD=2OE=6．

20、解析：（1）设这种玩具的进价是x元，则（1＋80%）x=36，
解得x=20．
答：这种玩具的进价为20元．
（2）平均每次降价的百分率为y，则36（1－y）2=25，
解得 ， ?
答：平均每次降价的百分率为16.7%．
21、解析：依题意可知， ， ，
由（x1＋1）（x2＋1）=8得 ，
于是 ，即 ，
解得 ?
而 ，所以k≥－2．
所以k=2．

22、解析：（1）证明：连接OD，则OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB?
又∵AB=AC，
∴∠OBD=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC?
又∵DE⊥AC，
∴半径OD⊥DE?
∴DE是⊙O的切线，
（2）连接OF?
∵⊙O与AC相切，
∴半径OF⊥AC?
又∵AB=6c，OF=OB=2c，
∴AO=4c，
∴∠A=30°?

23、解析：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4c2，则 ?
整理得x2－5x＋4=0．解得 ，
当x2=4时，2x=2×4=8＞7，说明此时点Q越过点C，不合要求．
答：1秒后△PBQ的面积等于4c2．
（2）当PQ=5时，
在Rt△PBQ中，∵BP2＋BQ2=PQ2，
∴（5－t）2＋（2t）2=52，
5t2－10t=0，
t（5t－10）=0，
t1=0，t2=2，
∵t=0时不合题意，舍去，
∴当t=2时，PQ的长度等于5c．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8c2，则 ?
整理得：x2－5x＋8=0，
而△=25－32=－7＜0，
∴△PQB的面积不能等于8c2．
，
∴△PBQ的面积最多为 ．

24、解析：（1）连接AC，∠AED=90°－∠ADB=90°－∠DAC =∠ADF?
（2）过点E作EP⊥AC于P，易证△AEP≌△ABE，∴BE=AP，∴BD=AC=AP－CP=BE－EF．
（3）由面积法及勾股定理得： ，作A⊥EF于，证△AE≌△ABE，E=BE，BD=AC=F=E＋EF=BE＋EF， ．

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