【—实数相关公理】实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。

　　实数相关公理

　　从有理数构造实数

　　实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

　　公理的方法

　　设 R 是所有实数的集合，则：

　　集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

　　域 R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数 x, y 和 z：

　　若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

　　若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。

　　集合 R 满足完备性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。

　　最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5;但是不存在有理数上确界(因为 √2 不是有理数)。

　　实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

　　总结来说，实数是数学名词。是有理数和无理数的总称。

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