中山市2013—2014学年度第一学期期末统一考试第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1“且”是“”的（ ）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件2焦点在y轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是（ ）.A．B．C．D． 3．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含y轴）（　　）.4．已知且成等比数列，则有（ ）.A．最大值B．最小值 C．最大值D．最小值5设有一个质点位于A(1，1，?2)处, 在力=(2, 2, 2) 的作用下，该质点由A位移到时，力所作的功（）的大小为（ ）.A16B．14C．12D．106．方程与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）.A B C D7某同学对教材《选修2-2》上所研究函数的性质进行变式研究，并结合TI-Nspire图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（ ）.A．的极大值为B．的极小值为C. 的单调递减区间为D. 在区间上的最大值为8．是以为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹是（ ）.A．椭圆B．圆C．双曲线D．双曲线的一支第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）9在等差数列中，若，则数列的前9项的和为 . 10若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 . 11过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么AB等于 ．12．在△ABC中，有等式：① asinA=bsinB；② bsinC=csinB；③ acosB=bcosA；④ . 其中恒成立的等式序号为________. 13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 km.14已知下列命题： ① 若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=； ② 是、共线的充要条件；③ 若是空间三向量，则；④ 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面.其中不正确的命题的序号是 . 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分） 如图，在树丛中为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C. 并测量得到图中的一些数据，此外，.（1）求的面积；（2）求A、B两点之间的距离.16．（13分）已知等差数列的公差，前项和为.（1）若成等比数列，求；（2）若，求的取值范围.17．（13分）人们生活水平的提高，越来注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪. 1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？最低花费是多少？18. （13分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值.19. （14分）已知直线与抛物线交于、两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点. 如右图所示.（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.20（14分）已知函数.（1）求的最小值；（2）若曲线在点)处与直线相切，求与的值.（3）若曲线与直线 有两个不同的交点，求的取值范围.中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试一、选择题：ADCB BADB二、填空题：9．162； 10； 118； 12②④； 135； 14②④.三、解答题： 15．解：（1）中， . ………………………………（2分）中， . ………………………………（4分）的面积为 . ………（6分）（2）中， ………（9分）== …………………………………（11分）==. ……………………………………………………（13分）16解：（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以， ………………………………（3分）即，解得或. ……………………………（6分）（2）因为数列的公差，且, 所以， ………………………………（9分）即，解得. ………………………（13分）17解：设每天食用kg食物A，kg食物B，总花费为元，则目标函数为，且满足约束条件， …………………………………………………………（3分）整理为，……（5分）作出约束条件所表示的可行域，如右图所示. ………（7分）将目标函数变形为. 如图，作直线，当直线平移经过可行域，在过点M处时，轴上截距最小，即此时有最小值. ……（9分）解方程组，得点M的坐标为. …………………………………………………………………（11分）∴ ……………………………………………（12分）∴ 每天需要同时食用食物A约kg （或0.143 kg），食物B约kg（或0.571 kg），能够满足日常饮食要求，且花费最低16元. ………………………………………（13分）18. 解：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、 ……………………（2分） ………（4分） …………………（6分）所以异面直线与所成角的余弦为. ……………（7分）（2）设平面的法向量为 则由由 ……………………………………（9分）取， …………………………………………（10分）， …………………………………（12分）所以直线与平面所成角的正弦值为. …………………（13分）19解：（1）抛物线的方程化为，所以，. ………（2分）∴ 抛物线C的焦点坐标为. ………………………………………（4分）（2）联立方程组，解得点A坐标为. ……………………（6分）联立方程组，解得点B坐标为. ……………………（7分）所以直线AB的方程为， ……………………（8分）令，解得. ∴ 点M的坐标为. ……………………………………………（9分）（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点. ……………………………（10分）证明如下：设过抛物线的顶点的一条直线为 （），则另一条为联立方程组，解得点A坐标为. …………………………（11分）联立方程组，解得点B坐标为. ……………………………（12分）所以直线AB的方程为， ……………………（13分）令，解得.∴ 直线AB恒过定点. ………………………………………………………（14分）20. 解：（1）由，得. …………………（1分）令，得. ………………………………………………（2分）与随x的变化情况如下: ……………………………………………………（4分）所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值. ………………………………………………………（5分）（2）因为曲线在点处与直线相切，所以，， ……………………………（7分）解得，. ………………………………………………（9分）（3）当时，曲线与直线最多只有一个交点；当时，>，，所以存在，，使得. ………（12分）由于函数在区间和上均单调，所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点. ………………………………（13分）综上可知，如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值范围是. ……………………………………………………（14分）ＢＣＥＯＡ广东省中山市2013-2014学年高二上学期期末考试（数学理）word版
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