2013-2014学年度第一学期期末联考高二数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．下列说法中，正确的是：（ ）A．命题若，则的否命题为若，则B．命题，使得 的否定是：，”C．”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D．，则”的逆命题是真命题2．抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D．3．从甲乙两个城市分别随机抽取台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,分别为,,则（）A．,B．, C．,D．,设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则若，，则；若，，则；若，，，，则．其中正确的命题图所示的算法流程图输出的为，则判断框中的条件是（　　）A．B．C．D．7．如图，设四面体各棱长均相等，分别为中点，则在该四面体的面上的射影是下图中的（　　） A B C D8．“过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线的斜率的值为”的（ ）A．充分必要条件 B．充分但不必要条件C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是中的任何一个，允许重复，则填入方格的数字大于方格的数字的概率为（　　） B． C． D．10.如图，棱长为正方体上任取一点，以为球心，为半径作一个球.设，记该球面与正方体表面的交线的长度为，则函数的图可能是 A． B．C． D．且，则 12．某校为了了解高三学生的身体状况抽取了生体重将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，则抽取的生的人数是与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为_______14.如图，在长方形中，为的中点，为线段(端点除外)上一动点，现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作为垂足，设则的取值范围是________，直线和曲线有两个不同的交点，他们围成的平面区域为，向区域上随机投以点,点落在内的概率为，若，则实数的取值范围是： 三、解答题本大题共6小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤已知离心率为的椭圆() 过点 求椭圆的方程作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长.17．（本题满分12分）在直三棱柱中，分别是的中点. （1）求证：平面; （2）求多面体的体积.18. （本题满分12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.（）求的值；（）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为，现随机从中抽取2人上台抽奖，求和至少有一人上台抽奖的概率；（）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，并按如右所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.已知“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围。 20．（本题满分13分）如图，四棱锥中，底面为，，，分别是的中点．平面；（2）取，若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。21．（本题满分14分）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（3）设第（2）问中的与轴交于点，不同的两点在上，且满足,求的取值范围.2013-2014学年度第一学期期末联考高二数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共1小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上2.【答案】D 整理为标准式，在求解3.【答案】A 乙城市的数据更靠近后面，所以平均数更大，数据更集中，所以方差更小。4.【答案】D　可能相交，（2）漏了线相交5.【答案】C 设，，设是两曲线在第一象限的交点，则有曲线定义可得，6.【答案】A ，由判断框首先排除B.D,然后一一运算即可 7.【答案】B．在面的射影不在的边上，也不在线段上，所以选B8.【答案】C 检验，时直线与双曲线相切，但是直线与双曲线有且仅有一个公共点的时候，，即此时直线平行双曲线的渐近线9.【答案】D 依题意，本题不必考虑区域，区域可重复填数，共有种方法，符合的共有种，所以10.【答案】B 分析：当，以为半径的球面与正方体的侧面、以及下底面均相交，且与侧面、以及下底面的交线均为圆心角为的圆弧，即，此时函数是关于自变量的正比例函数，排除选项、，当时，侧面、以及下底面内的点到点的最大距离为，此时球面与这三个面无交线，考虑球面与平面的交线，设球面与平面的交线是半径为圆弧，在圆弧上任取一点，则，，易知，平面，由于平面，，由勾股定理得，则有，即球面与正方体的侧面的交线为以为半径，且圆心角为的圆弧，同理，球面与侧面及底面的交线都是以为半径，且圆心角为的圆弧，即，排除选项，故选项正确.二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共2分。12. 【答案】 13. 【答案】 直线与的交点为，设与的交点分别为，由点差法，可得，即，14. 【答案】 分析：如图，过作，垂足为，连接，平面平面，， 平面，.∴平面，.容易得到，当接近点时，接近的中点，当接近点时，接近的四等分点，t的取值范围是. 当直线在从轴开始逆时针旋转到位置时，符合题意，取极限，计算即可。三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。，可得， ………………………………………………2分所以椭圆方程为又椭圆过点，所以， ………………………………………………4分 …………………………………………5分所以椭圆方程为 ………………………………………………6分（2）由已知，直线 联立 整理为 …………8分 ………………………………………………10分 ………………………………………………12分或，经计算………………………………………………10分 ………………………………………………12分17. （本小题满分12分） （1）证：连接,由分别是的中点. ………………………3分平面,平面,………………………5分平面 ………………………6分(2) 三棱柱是直三棱柱，, ………………………8分又是的中点. ………………………9分 ………………………10分………………………12分18．（），解得………………………2分（）为“和至少有一人上台抽奖………………………3分从高二代表队人中抽取人上台抽奖的所有基本事件列举如下：共15种可能， ………………………5分其中事件包含的基本事件有9种 ………………………6分所以 ………………………7分（3）记事件为“该代表中奖”如图，所表示的平面区域是以为边的正方形，而中奖所表示的平面区域为阴影部分 ………………………9分,阴影部分面积………………………11分所以该代表中奖的概率为………………………12分19. （本小题满分12分）解：（1）若为真： ………………………1分解得或 ………………………2分若为真：则 ………………………3分解得或 ………………………4分若“且”是真命题，则 ………………………6分解得或 ………………………7分（2）若为真，则，即………………………8分由是的必要不充分条件，则可得或 ………………………9分即或 ………………………11分解得或 ………………………12分20. （本小题满分13分）解：方法一：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，因为为的中点，所以 ………………………1分又，因此 ………………………2分因为平面，平面，所以 ………………………3分而平面，平面，所以平面 . ………………………5分（2）为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角 ………………………6分在中，，所以当最短时，即当时，最大 . ………………………7分此时， 因此又， 所以，所以 ………………………8分因为平面，平面，所以平面平面过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，…………10分在中， 又是的中点，在中， 又 ………………………11分在中，即所求二面角的余弦值为。 ………………………13分第二问：方法二（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，建江西省赣州市六校2013-2014学年高二上学期期末联考数学（理）试题
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