2012年象贤中学高二数学（理科）第12周周练

一、（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．设随机变量 等可能的取值1，2，3，…，n，如果 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中 的系数相等，则n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （ ）
（A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40
4． 展开式中， 的系数是（ ）．
A． B． C． D．
5．在10个球中有个6红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率是（ ）
A B C D

6．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B?A）=（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．箱中有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第四次取球之后停止的概率为（ ）
A.C35 •C14C45 B.(59)3×(49) C. 35 ×14 D.C14(59)3×(49)
8．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ）
A. B. C. D.
二、题：本题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示)
10．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是 ；③他至少击中目标1次的概率是 .其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）.

11．( － )8的展开式中 的系数为 ，则实数 的值为 ____；
12．若 ,则 =
13．由直线 ， ，曲线 及 轴所围图形的面积是 ．
14．若函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围是

班级 姓名 学号 成绩

题号12345678
选项
一、：

三、解答题：本题共6小题，满分80分．解答须写出字说明、证明过程和演算步骤．
15．（12分）（2009广东六校一）在某次乒乓球比赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两个比赛一场），共比赛三场.若这三人在以往的相互比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 .（Ⅰ）求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率；
（Ⅱ）若每场比赛胜者得 分，负者得 分，设在此次比赛中甲得分数为 ，求出X的分布列

16．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列。

17．（14分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数 的分布列

18．（14分）如图5，在圆锥PO中，已知PO ，⊙O的直径 ,C是弧AB的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD 平面PAC;
（Ⅱ）求二面角B—PA—C的余弦值。

19．（14分）已知椭圆 的左，右两个顶点分别为 、 ．曲线 是以 、 两点为顶点，离心率为 的双曲线．设点 在第一象限且在曲线 上，直线 与椭圆相交于另一点 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，证明： ；

20．（本小题满分14分）
设函数 ( 为自然对数的底数)， （ ）．
（1）证明： ；（2）当 时，比较 与 的大小，并说明理由；

2012年高二数学（理科）第12周周练答案
1-8DB D CD B B A 9. 10.①③ 11.1或-1 12.-1 13. 14.
15．解：（Ⅰ）设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件 ，
则 4分 （Ⅱ） 可能的取值为 6分
， ， ，

012

16．分析：（I）甲、乙组分别抽取2、1（II） 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 （III） 的可能取值为0，1，2，3
， ，
， 分布列略。
17．解：（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件 则 （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则 ，又
且A2，A3互斥，所以
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是（略）
18．（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 ， 设 是平面POD的一个法向量，则由 ，得 所以
设 是平面PAC的一个法向量，则由 ，得 所以 得 。因为 所以 从而平面 平面PAC。（II）因为y轴 平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
由（I）知，平面PAC的一个法向量为 设向量 的夹角为 ，则
由图可知，二面角B—PA—C的平面角与 相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值为
（1）解：依题意可得 ， ．设双曲线 的方程为 ，
因为双曲线的离心率为 ，所以 ，即 ．所以双曲线 的方程为 ．
（2）证法1：设点 、 （ ， ， ），直线 的斜率为 （ ），则直线 的方程为 ，联立方程组 整理，得 ，解得 或 ．所以 ．同理可得， ．所以 ．
20．（1）证明：设 ，所以 ．当 时， ，当 时， ，当 时， ．即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得唯一极小值，因为 ，所以对任意实数 均有 ．即 ，所以 ．（2）解：当 时， 用数学归纳法证明如下：①当 时，由（1）知 ．②假设当 （ ）时，对任意 均有 ，
令 ， ，因为对任意的正实数 ， ， 由归纳假设知， ．
即 在 上为增函数，亦即 ，
因为 ，所以 ．从而对任意 ，有 ．
即对任意 ，有 ．这就是说，当 时，对任意 ，也有 ．由①、②知，当 时，都有 ．

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