第一 静电场
学案2　库仑定律

1．探究电荷间作用力的大小跟距离的关系：保持电荷的电荷量不变，距离增大时，作用力________；距离减小时，作用力________．
2．探究电荷间作用力的大小跟电荷量的关系：保持两个电荷之间的距离不变，电荷量增大时，作用力________；电荷量减小时，作用力________．
3．静电力：________间的相互作用力，也叫________．它的大小与带电体的________及________有关．
4．点电荷：自身的________________比相互之间的距离______________的带电体．
5．库仑定律：真空中的两个点电荷之间的相互作用力的大小，与它们电荷量的乘积成____________，与它们距离的二次方成________，作用力的方向在它们的________．
6．库仑定律的公式F＝________，式中k叫做静电力常量，k的数值是________．
答案　1.减小　增大　2.增大　减小　3.电荷　库仑力　电荷量　距离　4.大小　小得多　5.正比　反比　连线上　6.kq1q2r2　9.0×109 N•m2/C2

一、点电荷
[问题情境]
1．点电荷是不是指带电荷量很小的带电体？是不是体积很小的带电体都可看做点电荷？
2．点电荷与元点荷一样吗？
答案　1.不是：一个物体能否被看做点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其大小和形状而定．
2．(1)元电荷是一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值，是电荷量的最小单位．(2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是一个元电荷电荷量的整数倍．
[要点提炼]
1．点电荷是只有电荷量，没有________和________的理想化模型．
2．带电体看成点电荷的条：当带电体间的________比它们自身的大小大得多，以至带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可以忽略时，这样的带电体就可以看做点电荷．
答案　1.大小　形状　2.距离
二、库仑定律
[问题情境]
1．什么是库仑力？其大小如何确定？方向又如何确定？
2．库仑定律及表达式与哪个定律相似？
答案　1.电荷间的相互作用力叫做静电力，又叫库仑力；其大小由公式F＝kq1q2r2计算；其方向根据同种电荷相斥，异种电荷相吸的原理，在二者连线上确定.2.与万有引力定律的表达式相似．
[要点提炼]
库仑定律的适用条是：(1)__________________；(2)____________________．
答案　(1)真空中　(2)点电荷
[问题延伸]
有人根据F＝kq1q2r2推出当r→0时，F→∞，正确吗？
答案 从数学角度分析似乎正确，但从物理意义上分析却是错误的。因为当r→0时，两带电体已不能看做点电荷，库仑定律不再适用了．
三、库仑的实验
[问题情境]
库仑扭秤是如何把力的作用效果放大的，如何确定力F的大小？此实验是如何把带电金属球所带的电荷量均匀改变的？
答案　利用“⊥”形架增大库仑力扭转悬丝的效果，根据扭转角度确定力F的大小．利用电荷平分原理，完全相同的两个带电体接触后分开：(1)同种电荷，电荷量平分；(2)异种电荷，先中和后平分.

例1 　两个半径为R的带电球所带电荷量分别为q1和q2，当两球心相距3R时，相互作用的静电力大小为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A．F＝kq1q23R2 B．F＞kq1q23R2
C．F＜kq1q23R2 D．无法确定
解析　因为两球心距离不比球的半径大很多，所以两带电球不能看做点电荷，必须考虑电荷在球上的实际分布．当q1、q2是同种电荷时，相互排斥，分布于最远的两侧，电荷中心距离大于3R；当q1、q2是异种电荷时，相互吸引，分布于最近的一侧，电荷中心距离小于3R，如图所示．所以静电力可能小于kq1q23R2，也可能大于kq1q23R2，D正确．

答案　D
变式训练1　下列关于点电荷的说法正确的是(　　)
A．点电荷可以是带电荷量很多的带电体
B．带电体体积很大时不能看成点电荷
C．点电荷的带电荷量可能是2.56×10－20 C
D．一个带电体能否看做点电荷应以具体情况而定
答案　AD
解析　一个带电体能否看做点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其大小和形状及带电荷量的多少判断，因此A、D正确，B错误．因为任何带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，所以C错误．故正确选项为A、D.
例2 　有三个完全一样的球A、B、C，A球带电荷量为7Q，B球带电荷量为－Q，C球不带电，将A、B两球固定，然后让C球先跟A球接触，再跟B球接触，最后移去C球，则A、B两球间的作用力变为原的多少？
思路点拨　求解此题应把握以下三点：(1)先据库仑定律写出原A、B间库仑力的表达式．(2)据电荷均分原理确定接触后A、B的带电荷量．(3)再据库仑定律写出现在A、B间的库仑力．
解析　设A、B两球间的距离为r，由库仑定律知，开始时A、B两球之间的作用力为F＝k7Q×Qr2
当A、C两球接触时，据电荷均分原理可知，两球均带电72Q；当B、C两球接触时，两球均带电12(72Q－Q)＝54Q
故后A、B两球之间的作用力F′＝k72Q×54Qr2＝58F.
答案　58
变式训练2　两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F，两小球相互接触后将其固定距离变为r2，则两球间库仑力的大小为(　　)
A.112F B.34F C.43F D．12F
答案　C
解析　两金属球间原的库仑力F＝kQ•3Qr2＝k3Q2r2，两球接触后各带相同电荷量Q′＝－Q＋3Q2＝Q，又因它们的距离变为r2，所以此时它们间的库仑力F′＝kQ•Qr22＝k4Q2r2＝43F，故C项正确．
例3 　两个正电荷q1和q2的电荷量都是3 C，静止于真空中的A、B两点，相距r＝2 m.
(1)在它们的连线AB的中点O放入正电荷Q，求Q受的静电力．
(2)在它们连线上A点左侧P点，AP＝1 m，放置负电荷q3，q3＝－1 C，求q3所受的静电力．
思路点拨　解答本题时，可按以下思路分析：(1)q1对Q的库仑力；(2)q2对Q的库仑力；(3)库仑力的合力．
解析　(1)依据库仑定律知道q1、q2对Q的库仑力大小相等，方向相反，故合力为零．

(2)如图，q3受q1的引力F31，受q2的引力F32，方向向右，合力为F3＝F31＋F32＝k q1q3r2PA＋k q2q3r2BP＝3×1010N.
答案　(1)零　(2)3×1010 N，方向向右
变式训练3　如图1所示，两个点电荷，电荷量分别为q1＝4×10－9 C和q2＝－9×10－9 C，两者固定于相距20 cm的a、b两点上，有一个点电荷q放在a、b所在直线上且静止不动，该点电荷所处的位置是(　　)
A．距a点外侧40 cm处
B．距a点内侧8 cm处
C．距b点外侧20 cm处 图1
D．无法确定
答案　A
解析　此电荷电性不确定，根据平衡条，它应在q1点电荷的外侧，设距q1距离为x，由kq1qx2＝kq2qx＋202，将数据代入，解得x＝40 cm，故A项正确．
【即学即练】
1．下列关于点电荷的说法中，正确的是(　　)
A．体积大的带电体一定不是点电荷
B．当两个带电体的形状对它们间相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体可看做点电荷
C．点电荷就是体积足够小的电荷
D．点电荷是电荷量和体积都很小的带电体
答案　B
解析　带电体能否看成点电荷，不能以体积大小、电荷量多少而论，故A、C、D错．一个带电体能否看成点电荷，要依具体情况而定，只要在测量精度要求的范围内，带电体的形状、大小等因素的影响可以忽略，即可视为点电荷．故B正确．
2．关于库仑定律，以下说法中正确的是(　　)
A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的带电体
B．库仑定律是实验定律
C．库仑定律仅适用于静止电荷间的相互作用
D．根据库仑定律，当两个点电荷间的距离趋近于零时，则库仑力趋近于无穷大
答案　B
解析　一个带电体能否看做点电荷不以它的体积大小确定，体积小的带电体不一定能视为点电荷，A错；库仑定律是在大量的实验探究基础上总结出的，B对；库仑定律适用于真空中的点电荷，电荷间的库仑力与电荷的运动状态无关，C错；当两带电体很近时，它们已不能看做是点电荷，库仑定律不再适用，不能再用kq1q2r2计算电荷间的库仑力，D错．
3．相隔一段距离的两个点电荷，它们之间的静电力为F，现使其中一个点电荷的电荷量变为原的2倍，同时将它们间的距离也变为原的2倍，则它们之间的静电力变为(　　)
A.F2 B．4F C．2F D.F4
答案　A
解析　F＝kq1q2r2，F′＝k2q1q22r2＝12kq1q2r2＝F2，选A.
4．如图2所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3间距离为q1与q2间距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比为(　　)

图2
A．(－9)∶4∶(－36) B．9∶4∶36
C．(－3)∶2∶(－6) D．3∶2∶6
答案　A
解析　本题可运用排除法解答．分别取三个电荷为研究对象，由于三个电荷只在静电力(库仑力)作用下保持平衡，所以这三个电荷不可能是同种电荷，这样可立即排除B、D选项，故正确选项只可能在A、C中．若选q2为研究对象，由库仑定律知：kq2q1r2＝kq2q32r2，因而得：q1＝14q3，即q3＝4q1.选项A恰好满足此关系，显然正确选项为A.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．对于库仑定律，下列说法正确的是(　　)
A．只要是计算真空中两个点电荷间的相互作用力，就可使用公式F＝kQ1Q2r2
B．两个带电小球即使相距非常近，也能用库仑定律计算库仑力
C．相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们受到的库仑力大小一定相等
D．库仑定律中的静电力常量k只是一个比例常数，只有数值，没有单位
答案　AC
解析　库仑定律的表达式F＝kq1q2r2的适用条是真空中的点电荷，而不是任意情况下的带电体，所以选项A正确，B错误；两个点电荷之间受到的静电力互为作用力与反作用力，所以选项C正确；静电力常量k＝9.0×109 N•m2/C2，选项D错误．
2．A、B两个点电荷之间的距离恒定，当其他电荷移到A、B附近时，A、B之间的库仑力将(　　)
A．可能变大 B．可能变小
C．一定不变 D．不能确定
答案　C
解析　根据库仑定律，两个点电荷间的库仑力只跟两个电荷的电荷量和它们间的距离有关，因此它们间的库仑力不会受到外界的影响．选项C正确．
3．两个完全相同的小金属球，它们的带电荷量之比为5∶1(皆可视为点电荷)，它们在相距一定距离时相互作用力为F1，如果让它们接触后再放回各自原的位置上，此时相互作用力变为F2，则F1∶F2可能为(　　)
A．5∶2 B．5∶4 C．5∶6 D．5∶9
答案　BD
解析　根据库仑定律，它们接触前的库仑力为F1＝k5q2r2.若带同号电荷，接触后的带电荷量相等，都为3q，此时库仑力为F2＝k9q2r2；若带异号电荷，接触时电荷先中和后平分，接触后的带电荷量也相等，都为2q，此时库仑力为F2′＝k4q2r2.由以上计算可知选项B、D正确．
4．两个带有同种电荷的小球A、B，放在光滑绝缘水平面上，其中小球A固定，小球B只在库仑力作用下由静止开始沿水平面运动，在运动过程中，小球B的加速度a和速度v的变化是(　　)
A．a一直在增大 B．a一直在减小
C．v一直在增大 D．v一直在减小
答案　BC
解析　本题考查的知识点是牛顿第二定律和库仑定律．B在A的静电斥力的作用下，向远离A的方向做加速运动，C对，D错．A、B间隔越越远，由牛顿第二定律得kqAqBr2＝mBaB，r逐渐变大，则aB逐渐减小，故A错，B对．
5．如图3所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A、B，上、下两根细线的拉力分别为FA、FB，现使两球带同种电荷，此时上、下细线受力分别为FA′，FB′，则(　　)

图3
A．FA＝FA′，FB＞FB′
B．FA＝FA′，FB＜FB′
C．FA＜FA′，FB＞FB′
D．FA＜FA′，FB＜FB′
答案　B
解析　两个小球都不带电时，FA＝GA＋FB，FB＝GB；使两球带同种电荷后，FA′＋F斥＝GA＋FB′，FB′＝GB＋F斥．FA＝FA′，故FB＜FB′，B项正确．
6．如图4所示，两个带电小球A、B的质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2.静止时两悬线与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，且恰好处于同一水平面上．下列说法正确的是(　　)

图4
A．若q1＝q2，则θ1＝θ2
B．若q1＜q2，则θ1＞θ2
C．若m1＝m2，则θ1＝θ2
D．若m1＜m2，则θ1＞θ2
答案　CD
解析　A、B之间的静电力是作用力和反作用力的关系，所以不论A、B哪个带的电荷量大，它们受到的静电力大小相等、方向相反，由平衡条得tan θ＝F电mg.可见质量相同，偏角相同；质量越大，悬线与竖直线的偏角越小．故选项C、D正确．
7．如图5所示，把质量为2.0×10－3 kg的带电小球B用细线悬挂起．若将带电荷量为4.0×10－8 C的小球A靠近B，则平衡时细线与竖直方向成45°角．已知A、B在同一水平面上且相距0.3 m，B球所带的电荷量为__________ C．(取g＝10 m/s2)

图5
答案　5×10－6
解析　以小球B为研究对象，其受力分析如图所示，设小球B所带的电荷量为qB，由平衡条可知：

kqAqBr2＝mgtan 45°代入数据解得：qB＝5×10－6 C.
8．真空中光滑绝缘平面上，分别放置两个电荷量为－Q、＋9Q的点电荷A、B，如图6所示，且A、B间的距离为60 cm.然后在另一位置放置点电荷C，这时三个点电荷都处于平衡状态，求C的电荷量以及相对A的位置．

图6
答案　94Q　在A点左侧距A 30 cm处
解析　由于三个点电荷中每个点电荷都处于平衡状态，三个点电荷应位于同一条直线上．设－Q、＋9Q如图所示放置，根据“三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大”
原则，C应放在A、B连线A点左侧，且C应带正电，设电

荷量为q，A、B之间距离为r，A、C之间距离为r′.以A为研究对象，则k ＝kQ•9Qr2，以B为研究对象，则kq•9Qr＋r′2＝kQ•9Qr2，以C为研究对象，则kQ•qr′2＝k•9Q•qr＋r′2.由以上方程可得出q＝94Q，r′＝r2＝30 cm.
9．两个完全相同的小球A和B，只有A带有一定的电荷量，A、B接触后分开，相距1 m时测得相互作用力等于1 N，求接触前A的电荷量是元电荷的多少倍？
答案　1.25×1014
解析　接触后设每个球带的电荷量为Q，已知间距r＝1 m，相互作用力F＝1 N．由库仑定律F＝kQ1Q2r2＝kQ2r2，得Q＝ Fr2k＝ 1×129×109 C≈1×10－5 C，A球接触前所带电荷量与电子电荷量之比为n＝2Qe＝2×10－51.6×10－19＝1.25×1014，即是元电荷的1.25×1014倍．
10．行星绕恒星运动由万有引力提供向心力，电子绕原子核运动由库仑力提供向心力，已知电子的质量为m，原子核与电子的带电荷量都为e，电子绕原子核做圆周运动的半径为r，静电力常量为k，求：
(1)电子转动的线速度；
(2)电子做圆周运动的周期．
答案　(1)e　kmr　(2)2πre rk
解析　电子绕原子核运动由库仑力提供向心力，所以F＝ke2r2＝mv2r＝m4π2T2r
解得v＝e kmr，T＝2πre rk.

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