2．3．2离散型随机变量的方差
目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”， 以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的化功能与人价值。
重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授类型：新授
时安排：2时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 ， ，…， 中，各数据与它们的平均值 得差的平方分别是 ， ，…， ，那么 ＋ ＋…＋
叫做这组数据的方差
教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5. 分布列:
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记 ＝b(k；n，p)．
ξ01…k…n
P
…
…
8.几何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．
ξ123…k…
P
…
9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
则称 … … 为ξ的数学期望，简称期望．
10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
12. 期望的一个性质:
13.若ξ B（n,p），则Eξ=np
二、讲解新：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 ， ，…， ，… ，且取这些值的概率分别是 ， ，…， ，…，那么,
＝ ＋ ＋…＋ ＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量ξ的期望．
2. 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ．
3.方差的性质：（1） ；（2） ；
（3）若ξ～B(n，p)，则 np(1-p)
4.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
三、讲解范例：
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
ξ123456
从而
例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800
获得相应职位的概率P10.40.30.20.1
乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000
获得相应职位的概率P20.40.3 0.20.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1
= 1400 ,
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3
+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1
= 40 000 ;
EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
= 160000 .
因为EX1 =EX2, DX 1<DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
例3．设随机变量ξ的分布列为
ξ12…n
P
…
求Dξ
解：（略） ,
例4．已知离散型随机变量 的概率分布为
1234567
P
离散型随机变量 的概率分布为
3．73．83．944．14．24．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解： ；
；
；
=0.04, .
点评：本题中的 和 都以相等的概率取各个不同的值，但 的取值较为分散， 的取值较为集中． ， ， ，方差比较清楚地指出了 比 取值更集中．
＝2， =0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例5．甲、乙两射手在同一条下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解：
+（10-9） ；
同理有
由上可知， ， 所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．
点评：本题中， 和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同． =9，这时就通过 =0.4和 =0.8比较 和 的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例6．A、B两台机床同时加工零，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床B机床
次品数ξ10123次品数ξ10123
概率P0.70.20.060 .04概率P0.80.060.040.10
问哪一台机床加工质量较好
解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2
×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2
×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
四、堂练习：
1 .已知 ，则 的值分别是（ ）
A． ； B． ； C． ； D．
答案：1.D
2 . 一盒中装有零12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事．
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P（ξ=0）=
当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）=
当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=
所以，Eξ=
3. 有一批数量很大的商品的次品率为1% ，从中任意地连续取出200商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200商品可以看作200次独立重复试验，即ξ B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算
解：因为商品数量相当大，抽200商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ B（200，1%） 因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
4. 设事A发生的概率为p，证明事A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论
证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,
所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p
则 Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA110120125130135ξB100115125130145
P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
分析： 两个随机变量ξA和ξ B&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，12 0，125， 130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算证明我们猜想的正确性
解：先比较ξA与ξB的期望值，因为
EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为
DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.
所以，DξA < DξB.因此，A种钢筋质量较好
6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用
解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100 依题
意，可得ξ的分布列为
ξ0525100
P
答：一张彩票的合理价格是0．2元．
五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出 、 .若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和
，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
六、后作业： P69练习1,2,3 P69 A组4 B组1,2
1.设 ～B(n、p)且E =12 D =4，求n、p
解：由二次分布的期 望与方差性质可知E =np D = np（1－p）
∴ ∴
2.已知随机变量 服从二项分布即 ~B(6、 )求b (2；6， )
解：p( =2)=c62( )2( )4
3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和 ，已知 和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
123
pA 0.10.6
123
p0.3 b0.3
试分析甲、乙技术状况
解：由0.1+0.6+a+1 a=0.3
0.3+0.3+b=1 a=0.4
∴E =2.3 , E =2.0
D =0.81 , D =0.6
七、板书设计（略）
八、教学反思：
⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；
④根据方差、标准差的定义求出 、 .若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和 ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
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