2016年的寒假即将到来，高中三年的学习生涯已经过半，高中数学的知识性学习即将结束，进入整体复习的阶段。在这个承上启下的寒假里，学生如何合理规划自己的学习，才能在激烈的竞争中脱颖而出，领跑高三总复习。下文将给出一些具体实用的建议：

一、高二数学的特点

都说高二是高中学习拉开差距的一年，此言不虚。

首先，高二学习的内容在高考中占据了2/3的分数;其次，高一的知识要么比较基础，属于高考中的容易题，比如空间几何体、直线和圆、三角函数，这部分内容并不能很好的拉开学生的差距;

要么就考察的很难，比如数列、不等式这些内容，往往作为高考压轴题出现，区分度又不大。而高考的中档题，比如导数、概率统计和离散型随机变量、解析几何，全部都在高二讲授。

因此，毫不夸张的说，好学生和差学生的差距，就体 现在高二内容的掌握上!

二、如何规划好寒假的复习?

(一)文科生的复习

对于文科生而言，解析几何的部分复习要点跟理科生是完全一样的，不同的是文科生不要求掌握空间向量，复习的重点是导数。

在导数的部分：

学生容易错的：第一个要点是记不住相关运算法则。这是必须要背下来的，题目做多了，用熟了，自然就掌握了;另一个要点是分类讨论的思想。 往往学生掌握用导数求单调性和最值的题目比较好，所以高考题目往往是含参的。而在参数不同的范围下，函数的性质又不相同。

 

 

这种考点考察的并不难，只要学生对参数提高一些敏感性，就可以拿到满分。

此外，文科生在高二上学期学完后，已经完成了高中数学主要知识点的学习，大多数学校会从高二下学期开始进行第一轮整体复习。所以学生最好也利用寒假的时间，开始复习必修一函数部分的内容。

(二)理科生的复习

对于理科生而言，寒假复习的重点是选修2-1，这里主要包括两部分内容：圆锥曲线和空间向量，都是高考中必考大题的地方，也是寒假复习的核心。

1)圆锥曲线的复习

圆锥曲线是高中数学学习公认的难点，那么到底难在哪，主要就是两项能力：“条件转化能力”和“计算能力”。说白了就是不知道该怎么算，和知道该怎么算了也算不出来。

要想提高“条件的转化能力”：

第一步，整理自己以往做过的题目，尤其是错题，不必每步都看，就整理题目中核心条件的常见代数表达方式。比如“垂直”这 个条件，几种最典型的转化方法是：

1)斜率乘积为-1;

2)向量内积为0;

3)勾股定理;

4)用于三角形的面积……。

第二步，整理每种方法中最需要注意的 问题。比如用到斜率的时候，要判断斜率是否存在。

第三步，进一步细化哪个方法更常用，在什么情况下用。比如这样一个条件：“以AB两点为直径的圆过原点 O”，一种转化方法是求出线段AB的长度，再求出线段AB的中点C和线段CO的长度，然后列一个式子：AB=2CO。但是这种转化显然比较麻烦。另一种转化方式是利用OA⊥OB，比较简单，也就更常用一些。

2010年北京高考理科卷第19题这道解析几何题，就体现了对“条件转化能力”的考察。

 

 

这道题的第二问涉及到解析几何中“三角形面积”这个条件的转化。如果按照公式S=1/2ah来计算，那么计算量就会很大，很多参加考试的同学就因此而 断送了这道题。而如果把面积表示为S=1/2absinθ，接下来就简单的多了。所以，熟悉相关条件的常见转化形式，是解析几何中非常重要的一点。

同样的，2010年北京高考文科卷第19题解析几何题也出现了“以线段MN为直径的圆与x轴相切”这样的条件，考察条件的转化能力。

对于学生而言，“计算能力”是学好解析几何不可或缺的能力，也常常是学生最薄弱的环节。

要想提高计算能力，必须“手勤”，即勤于计算。很多同学看圆锥曲线的题目，看出来思路以后就懒得算了，这是非常不可取的。解析几何题，不但要算，而且 要算到底，算出最终答案为止。在踏踏实实的计算中，学生首先要逐渐减少低级计算错误，对自己的小错绝不容忍，做到“逢算必对”;其次要总结计算技巧，总结 什么情况下往往不通分、多用韦达定理少用求根公式、代入消元的选择原则等。这些都是光“看”题目没法提升的，必须要算才能积累经验。

圆锥曲线的题目众多，条件纷杂，很多同学感觉复习起来无从下手，做了很多题又没有收获，其实只是没有抓住问题的核心，只要把握住以上两个要点，大部分题目就迎刃而解了。

(三)空间向量的复习

高考对立体几何大题的考察，已经越来越明显的强调空间向量的作用，而空间向量的难点，主要是选择建立空间坐标系和求平面的法向量，这两部分如果熟练，其他的环节就都不难处理了。

建立空间直角坐标系，首先是考虑找“三垂直”的信息，北京的考题大部分都有现成的“三垂直”，例如2010年北京高考理科第16题(见图1)。而难一些的题目中，几何体本身并没有“三垂直”的关系，这时候往往依据一组“两垂直”的棱，找第三个跟他们两两垂直的方向，建造空间直角坐标系，2009年北京 高考理科第16题(见图2)就是一个这样的题目。

此外，还有一些题目，几何体有很强的对称性，利用对称性建立空间直角坐标系也是常见的一种思路。这种思路 常见于正三棱柱，正四棱锥这些几何体中，例如2009年海南宁夏高考理科卷的立体几何题就是正四棱锥中的考察。对于学生而言，后两种情况下建立的坐标系不 是那么直观，要把这种坐标系下每个点的位置想清楚。

 

(图1) (图2)

求平面的法向量，是计算线面、面面夹角的基础，但是求法并不复杂。学生必须多练这方面的题目，达到熟能生巧。此外，注意到巧取平面中的向量，使其带有一个分量0，计算也会大大简便。这种计算能力的提高，必须要靠手勤，多算多总结，就越来越顺了。

一轮复习的核心是细致梳理知识点，所以同学们最好先复习课本和自己的课堂笔记，看看哪部分知识是自己的短板，把已经淡忘的概念重新掌握好。

其次，找自 己以前的试卷和作业，回顾错题，总结自己的易错点，总结常见常考题型，做针对性的巩固。

第三，找相关章节的新题目，或者高考试题分类汇编，进行自测，检查 自己的知识漏洞。

第四，再对有问题的知识，结合课本进行理解，保证清晰的掌握所有基本知识点。

这个阶段的复习一定要细致，不要一目十行的看课本，要试图发现自己知识体系的漏洞，对课本的每一个细节都不放过，真正理解每个概念和定理，出现问题一定要及时记录，并询问老师，不要让问题积压。

三、寒假期间，应该如何预习

在学完高二上学期的内容之后，理科生还有最后两本书要掌握，分别是选修2-2和选修2-3。

选修2-2的重点是导数。

这部分知识对于大部分学生来说比较新颖，预习的重点在于概念的理解，不急于用导数计算太多的题目。概念理解清楚之后，尝试把导数的运算法则背下来。有了有初步的印象，对后期的学习就会非常有帮助。课本上的例题和习题都不难，非常值得练习。

选修2-3这本书的重点是离散型随机变量。

学生在预习这部分内容之前，最好先复习一下必修3中概率的知识。作为预习，学生尝试理解离散型随机变量的含 义、分布列的意义和基本数字特征即可，不必深入研究二项分布、超几何分布这些典型分布。日常的题目练习，也不必追求过偏过难的题目，要能正确写出简单题目 的分布列，就为下学期的学习打下了非常好的基础。

再一次提醒同学，在预习的时候，不要死钻牛角尖，对不理解的概念，及时向老师询问。如果一味强调自己的想法，错误的理解了陌生的概念，反而会对后面的学习造成不利的影响。

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