2015-2016学年度第一学期期末联考高二数学试题（文科）（共150分．考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．的(　　)A．　　B．2 C．4D．4．已知x与y之间的一组数据：则关于y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过定点(　　)x0123y1357A．(2,2) B．(1.5,0)C．(1,2) D．(1.5,4)A．0 B．1 C．2 　D．34．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,,则（ ）A． ,B．,C．,D．,．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为(　　)A．－1　　B．1C．±1 D．－2．设函数f(x)＝xex，则(　　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点A．“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”C．若命题p：存在，则命题p的否定：对任意D．若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题8．如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是中的任何一个，允许重复，则填入方格的数字大于方格的数字的概率为（ ） B． C． D．9．设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=（ ）A．6B．9C．12D．1610．如图，棱长为1正方体上任取一点P，以为球心，为半径作一个球.设，记该球面与正方体表面的交线的长度为，则函数的图可能是 A． B．C． D．，，则输出的值是 ； 12．设函数f(x)的导数为，且，则___..若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为 .14. 一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ； 15．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若的面积为,则双曲线的离心率_________. 三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.（本小题满分12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖，.求a和b至少有一人上台抽奖的概率；17.（本小题满分12分）如图，中，平面外一条线段AB满足AB∥DE，AB，AB⊥AC，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE（Ⅱ）若AC=AD，证明：AF⊥平面18．：方程表示椭圆；：方程表示双曲线. 若“或”为真，“且” 为假，求实数的取值范围.19.（本小题满分1分）如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2（Ⅰ）（Ⅱ）与半圆弧的另一个交点为①试证：②若求三棱锥的体积20．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x3－24y－20－4(1)求C1、C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M、N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．．已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(aR)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意x[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．2015-2016学年度第一学期期末联考高二数学（文科）参考答案一、选择题：1．B 2．DB 5．B．DA ８．D ９．C 10．A二、填空题11． 12．－ 15．2三、解答题16．解：（Ⅰ）（Ⅱ）a和b至少有一人上台抽奖 ……12分17．证明：（Ⅰ）如图，取CE的中点M，连结FM， BM ∵F为CD的中点∴FM∥DE，且FM=DE ……2分又∵DE=2AB∴AB∥FM且AB=FM∴四边形ABMF为平行四边形 ……4分又AF平面BCE，BM平面BCE∴AF∥平面BCE …………6分（Ⅱ）∵AC=AD，F是CD的中点∴AF⊥CD ………7分由AB⊥AC，DE∥AB，可得DE⊥AC，DE⊥CD …8分且AC平面ACD，CD平面ACD，AC CD=C∴DE⊥平面ACD ………9分∴DE⊥AF ………10分∵AF⊥CD且DE⊥AF，DE CD=D∴AF⊥平面CDE …………12分18．为真，则解得； ……………3分若命题为真，则，解得或.……………6分由题意可知命题与一真一假, ……………7分当真假时，则，解得； ……………9分当假真时，则解得. ……………11分综上，实数的取值范围或. ……………12分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.解：（Ⅰ）∵平面平面，面面，，面，∴面． ………………………… 2分又∵面，∴． ………………………… 3分∵在以为直径的半圆上，∴，又∵，面，∴面． ………………… 4分 又∵面，∴． ……………………… 5分（Ⅱ）① ∵，面，面，∴平面． ……………… 6分又∵面，平面平面，∴. ……………… 8分②取中点，的中点，在中，，，∴．（Ⅰ）已证得面，又已知，∴平面． …………… 10分故． … 12分20．解：(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有＝2p(x≠0)，据此验证四个点知(3，－2)， (4，－4)在抛物线上，易得C2：y2＝4x.设C1：＋＝1(a＞b＞0)，把(－2,0)，代入得解得 所以C1的标准方程为＋y2＝1.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点为M(x1， y1)、N(x2，y2)．由消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，Δ＝(－8k2)2－4(1＋4k2)?4(k2－1)＝48k2＋16＞0，于是x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，即y1y2＝k2＝－.② ……………10分由，即?＝0，得x1x2＋y1y2＝0.(*)将、代入(*)式，得－＝＝0，解得k＝±2，所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.21．解：(1)当a＝3时，函数f(x)＝－x3＋x2－2x，得f′(x)＝－x2＋3x－2＝－(x－1)( x－2)．所以当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＜1或x＞2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(2)由f(x)＝－x3＋x2－2x，得f′(x)＝－x2＋ax－2，因为对于任意x[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，所以问题转化为对于任意x[1，＋∞)都有f′(x)max＜2(a－1)．因为f′(x)＝－2＋－2，其图象开口向下，对称轴为x＝.当≤1，即a≤2时，f′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max＝f′(1)＝a－3，由a－3＜2(a－1)，得a＞－1，此时－1＜a≤2当＞1，即a＞2时，f′(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f′(x)max＝f′＝－2，由－2＜2(a－1)，得0＜a＜8，此时2＜a＜8.综上可得，实数a的取值范围为(－1,8)．(3)设点P是函数y＝f(x)图象上的切点，则过点P的切线的斜率k＝f′(t)＝－t2＋at－2，所以过点P的切线方程为y＋t3－t2＋2t＝(－t2＋at－2)(x－t)，因为点在该切线上，所以－＋t3－t2＋2t＝(－t2＋at－2)(0－t)，即t3－at2＋＝0.若过点(0，－)可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，则方程t3－at2＋＝0有三个不同的实数解．令g(t)＝t3－at2＋，则函数y＝g(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．令g′(t)＝2t2－at＝0，解得t＝0或t＝.因为g(0)＝，g()＝－a3＋，所以必须g()＝－a3＋＜0，即a＞2.所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．i=1Do i=i+1 i=iiLoop while i
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