长春市十一高中2013-2014学年度高二上学期期末考试数 学 试 题 （理科）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。一、选择题（每题5分，共60分）1．抛物线的准线方程为 （ ）A. B. C. D. 2．设，若，则 =（ ）A. B.1C. D. 3．阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A.20 B.3 C. 2 D.604．若直线过圆的圆心，则的值为（ ）A.1 B.－1 C.3 D.－3 5．将一枚骰子先后掷两次，向上点数之和为，则≥7的概率为 （ ）A. B. C. D.6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A.3 B.－2 C.1 D.7．下列命题中的假命题是 （ ） A. B.C. D. 8．曲线围成的封闭图形的面积为 （ ）A.10 B.8C.2 D.13 9．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，,则线段中点到轴的距离为 （ ）A.16 B.6 C.8D. 410．已知为实数，则“且”是“”的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知双曲线的中心在原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且中点为，则的方程为 （ ）A. B. C. D. 12.已知函数，若函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13．双曲线的离心率为________________.14．函数的极小值点为_____________.15．抛物线焦点在轴上，且被截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________.16．已知函数，且 现给出如下结论：①；②；③；④，其中正确的序号为________________.三、解答题（本大题共70分）（解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）为统计某校学生数学学业水平测试成绩，现抽出40名学生成绩，得到样本频率分布直方图，如图所示，规定不低于60分为及格，不低于85分为优秀．（1）估计总体的及格率；（2）求样本中优秀人数；（3）若从样本中优秀的学生里抽出2人，求这两人至少有一人数学成绩不低于90分的概率．18．（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的极值；（2）当时，求的最值．19．（本小题满分12分）已知双曲线:过点,且离心率为2，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为M，N.（1）求双曲线的方程；（2）求四边形OMFN的面积（O为坐标原点）．20．（本小题满分12分）设为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，已知，是一个直角三角形的三个顶点，且.（1）求的长度；（2）求的值.21. （本小题满分12分）已知抛物线：，直线：，点是直线上任意一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，直线斜率分别为，如图所示 . （1）若，求证：；（2）当在直线上运动时，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标.22. （本小题满分12分）已知函数，（为常数，是自然对数的底数）在处的切线方程为.（1）求的值，并求函数的单调区间；（2）当，时，证明：.长春市十一高中2013-2014学年度高二上学期期末考试数 学（理科） 答案 一、选择题（每题5分，共60分）1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C二、填空题（每小题5分，共20分）13． 14. 15．或 16．②③三、解答题17．（本小题10分）解：（1）及格率为------------2分（2）优秀人数6人--------------4分（3）85分—90分有2人，设为、；90分—100分有4人，设为、、、，------------6分那么一次试验的全部结果为：，， ， ， ， ， ， ，， ，，，，，------------ --------8分共15个结果，所以-----------10分18．（本小题12分）解：（1）------------1分令=0得------------2分x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增16单调递减-16单调递增------------6分所以极大值为，极小值为 ------------8分（2）由（1）知，，，又所以最大值为，最小值为------------12分19．（本小题12分）解：（1）因为，所以3，------------2分设双曲线方程为∴双曲线过点，则有，∴双曲线方程为-------- --------5分（2）右焦点F到渐近线的距离，-----------9分，∴-----------12分20．（本小题12分）解：（1）若是直角，则,即，得= -----------3分若是直角，则,即，得=8 ---------6分（2）若是直角，则,即，得=，=,∴-----------9分若是直角，则,即，得=8，=4, ∴综上,或-----------12分21. （本小题12分）解：（1）设过的切线方程为：，代入抛物线，消去得：，由，所以：，该方程的两个根为直线斜率，所以：.-----------5分（2）设，，切点对求导数，，所以：故：直线：， 直线：由于，所以：：，：由于直线，都过点，有： ，这说明满足直线的方程，所以直线为：，再由所以为：，， 即过定点.------12分22. （本小题12分）解：（1）由条件知函数过点，所以：------①对求导数：，------②由①、②解得：.故：，令得：，令得：所以函数的单调增区间为，单调减区间为.--------6分（2）由（1）知，当时，；当时，，则 在为减函数，在为增函数，若，，则必有，不妨设.若证，即证，只需证：即：， 设， 即在上恒成立，即设，，∴是上的增函数，故∴是上是减函数，故，所以原命题成立. ---------12分体验 探究 合作 展示（21题图）（17题图）40 50 60 70 80 90 1000.0050.010.0150.025分数0.035(3题图)否是输出开始结束体验 探究 合作 展示吉林省长春市十一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案
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