1．甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员选赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜。假设每个队员实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后占胜乙方的概率是____________。

　　2．某种比赛的规则是5局3胜制，甲、乙两人在比赛中获胜的概率分别是。

　　（1）若有3局中乙以2：1领先，求乙获胜的概率；

　　（2）若胜一局得2分，负一局得分，求甲得分ξ的数学期望。

　　难点 2以概率与统计为背景的数列题

　　1．从原点出发的某质点M，按向量a=(0,1)移动的概率为，按向量b=（0，2）移动的概率为，设M到达点（0，n）的概率为Pn,求Pn

　　质点能达（0，n）的概率为

　　2．一个口袋中放有若干个球，每一球上标有1至n中某一个整数，设标有数k的球有k个，现从中任取一球。ξ为取的球上所标数字，求ξ的期望与方差。

　　难点 3 利用期望与方差解决实际问题

　　1．四位母亲带领自己的孩子参加电视台“我爱妈妈”综艺节目，其中有一环节，先把四位小孩的眼睛蒙上，然后四位母亲分开站，而且站?不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一位母亲的身边只许站一位小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的期望值。

　　2．某商场根据天气预报来决定节目节日在商场内还有在商场外开展促销活动，统计资料表明，每一年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇害到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到雨天则带来经济损失5万元，4月30日气象台报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采用哪种促销方式？

　　【易错点点睛】

　　易错点 1 求某事件的概率

　　1．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 ?（ ?）

　　个三位数；（3）三个数字都相同，有（3，3，3），共1个三位数。所求概率为。选D。

　　2．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

　　（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；

　　（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

　　3．某人有5把钥匙，其中有1把可以打开房门，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，那么恰好第三次打开房门的概率是____________.

　　（方法三）只考虑第3把钥匙，概率P=

　　4．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是。假设两人射击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。

　　（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

　　（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

　　（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

　　【举一反三】

　　1掷三枚骰子，求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是 ?（ ?）

　　2 、同时抛掷3枚均匀硬币16次，则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反而的概率__________（用式子作答）。

　　3 、设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的，现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动，若抛出的点数是奇数，则棋子不动；若抛出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置为A，则：

　　（1）投掷2次骰子，棋子才到达顶点BA的概率；

　　（2）投掷次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是多少？

　　【特别提醒】

　　对于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考虑了顺序，则分子也应考虑顺序等；将一个较复杂的事件进行分解时，一定要注意各事件之间是否互斥，还要注意有无考虑全面；有时正面情况较多，应考虑利用公式P（A）=1-P（）；对于A、B是否独立，应充分利用相互独立的定义，只有A、B相互独立，才能利用公式P（A?B）=P（A）?P（B），还应注意独立与互斥的区别，不要两者混淆。

　　易错点 2离散型随机变量的分布列、期望与方差

　　1．盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ。

　　（1）求随机变量ξ的分布列；

　　（2）求随机变量ξ的期望。

　　2．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

　　（1）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；

　　（2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率。

　　（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.986.

　　3．某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下：

　　ξ123…12P…设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大？

　　4．一接等中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率为0.5，电话C、D战线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望。

　　5．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人浏览这三个景点的概率分别为0.4,0.5,0.6,且客人是否浏览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有浏览的景点数之差的绝对值。

　　（1）求ξ的分布及数学期望；

　　（2）记“函数f(x)=x2-3ξx+1,在区间[2，+∞]上单调递增”为事件A，求事件A的概率。

　　【举一反三】

　　1．某商店搞促销活动规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表：

　　取出的棋子奖品5枚白棋子价值50元的商品4枚白棋子价值30元的商品3枚白棋子价值10元的商品如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50元购买商品。

　　（1）求获得价值50元的商品的概率；

　　（2）求获得奖品的概率；

　　（3）如果顾客所买商品成本价为10元，假设有10000人次参加这项促销活动，同商家可以获得的利润大约是多少（精确到元）。

　　2．A、B两地之间有6条网线并联，它们能通过的信息量分别为：1，1，2，2，3， 3，现从中任取三条网线，设可通过的信息量为x，当可通过的信息量x≥6时，则保证信息畅通。

　　（1）求线路信息畅通的概率；

　　（2）求任取三条网线所通过信息量的数学期望。

　　3．袋中放2个白球和3个黑球，每次从中取一个球，直到取到白球为止，若每次取出的球不再放回去，求取球次数ξ的概率分布及数学期望。

　　【特别提醒】

　　离散型随机变量的分布列，期望与方差是概率统计的重点内容，对离散型随机变量及分布列，期望与方差的概念的关键。求离散型随机变量的分布列的步骤是：（1）根据问题实际找出随机变量ξ的所有可能值xi;（2）求出各个取值的概率P（ξ=xi）=Pi;(3)画表填入相应数字，其中随机变量ξ的取值很容易出现错误，解题时应认真推敲，对于概率通常利用所有概率之和是否等于1来进行检验。期望与方差的计算公式尤其是方差的计算公式较为复杂，要在理解的基础上进行记忆。

　　易错点 3统计

　　1．样本总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组抽取的号码为m那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是____________.

　　2．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图13-1所示的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ? （ ?）A．0．6 ? ? ? ? B．0．9

　　C．1．0 ? ? ? ? ?D．1．5

　　3．若随机变量ξ、η都服从正态分布，并且ξ~N（3，2），η=，则随机变量η的期望是_________。

　　4．设随机变量服从正态分布N（0，1），记φ（x）=P(ξ0)

　　D．P(|ξ|>a)=1-φ(a)(a>0)

　　【举一反三】

　　1 某厂生产的零件外径ξ~N（10，0.04），今从该厂上午生产的零件中各取一件，测得外径分别为9.9cm,9.3cm,则可认为 ?（ ?）

　　A．上午生产情况正常，下午生产情况异常

　　B．上午生产情况异常，下午生产情况正常

　　C．上、下午生产情况均正常

　　D．上、下午生产情况均不正常

　　2 设随机变量ξ~N（μ，σ2），且P（ξ≤c）=P(ξ>Ac),则c等于

　　A．0 ? ? ? ?B．6

　　C．-μ ? ? ?D．μ

　　3 从某社区家庭中按分层抽样的方法，抽取100户高、中、低收入家庭调查社会购买力的某项指标，若抽出的家庭中有56户中等收入户和19户低收入户，已知该社区高收入家庭有125户，则该社区家庭总户数为__________.

　　【特别提醒】

　　对抽样方法，总体分布的估计，正态分布及线性回归近几年高考要求都不高，有的尚未考查，但作为新的知识点，高考也不会完全放弃，所以平时学习应以基础知识为主，重点学习抽样方法，正态分布的基础知识。抽样方法主要是概念的理解，正态分布主要是图像的性质。

　　1．若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为(　　)

　　A. ?B. ?C．－ ?D.

　　2．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝3，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)

　　A. ?B. ?C. ?D.

　　3．如图4是统计高三年级2 000名同学某次数学考试成绩的程序框图，S代表分数，若输出的结果是560，则这次考试数学分数不低于90分的同学的概率是(　　)

　　A．0.28 ?B．0.38 ?C．0.72 ?D．0.62

　　4．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)

　　A．5 ?B．5.25 ?C．5.8 ?D．4.6

　　5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　　)

　　A．这种抽样方法是一种分层抽样

　　B．这种抽样方法是一种系统抽样

　　C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

　　D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

　　．已知x，y满足(x∈Z，y∈Z)，每一对整数(x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为(　　)

　　A．45 ?B．36 ?C．30 ?D．27

　　．某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图5所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．

　　8．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.

　　．某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)有如下几组样本数据：

　　x3456y2.5344.5根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为________吨．

　　．执行如图7的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．

　　11．某人在如图8所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

　　图8

　　X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

　　(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

　　(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

　　．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.

　　(1)求X的分布列；

　　(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．

　　13．某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分150分)，其中120分(含120分)以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：

　　男生

　　女生

　　图6

　　(1)根据以上两个直方图完成下面的2×2列联表：

　　成绩

　　性别　　优秀不优秀总计男生女生总计(2)根据(1)中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？

　　(注：

　　k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.)

　　(3)若从成绩在[130,140]的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．

　　14．近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：

　　发生时间8：108：308：509：109：309：50概率若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8： 20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)

　　(1)设乙侯车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

　　(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．

　　15．从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ＝。

　　(1)求概率P(ξ＝0)；

　　(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．

　　．空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

　　PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250>250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示．

　　(1)试估计甲城市在9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

　　(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．

　　．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为。据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．

　　(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；

　　(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．

　　18．自驾游从A地到B地有甲、乙两条线路，甲线路是A－C－D－B，乙线路是A－E－F－G－H－B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x在上变化，y在上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据．

　　CD段EF段GH段堵车概率xy平均堵车时间(单位：小时)a21

　　堵车时间(单位：小时)频数[0,1]8(1,2]6(2,3][38(3,4]24(4,5]24

　　(1)求CD段平均堵车时间a的值；

　　(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．

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