桂林中2014届高三毕业班 第八周 数学理科本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1至2页，第卷第3至第4页。考试结束，答题卡上交。第卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。2．没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。在试题卷上作答无效(1)设则下列关系中正确的是(A) (B) (C) (D) (2)若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为( )(A)－6(B) －2C)4(D)6(3) 若直线始终平分圆的周长，则的(A) (B) (C) (D)(4)设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题中正确的是(A)　(B) [(C)　　(D)来(5) 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(A) 28(B) 49 (C) 56 (D) 85(6) 若，则向量与的夹角为(A)(B) (C) (D)(7)等差数列的前n项和为，若，则下列结论：; ②; ③; ④.其中正确结论是()①③ (B)①④ (C)②③(D)②④(8)设关于xy的不等式组表示的平面区域内存在点)，满足，的取值范围是() (B) (C) (D)(9)设的最小正周期为，且对任意实数，则(A)上单调递减 (B)在上单调递减(C) 在上单调递增 (D)在上单调递增(10)已知正三棱柱的底面是边长为，高为．底面的中心到平面的(A)(B)(C)(D)(11)已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(A)(B)(C)(D)(12)已知函数的定义为，且函数的图像关于直线对称，当时，，若，则的大小关系是(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。（注意：在试题卷上作答无效(13)若函数f(x)的反函数为，则f(4)＝▲ ．(14)的展开式中项的系数是15，则的值为 ▲ ．(15)数列的通项公式，其前项和为，则= ▲ ．(16)正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球表面积为 ▲ ． (17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC．（）求A；（）若a＝2，△ABC的面积为2，求b＋c．(18)(本小题满分12分) (注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3设各车主购买保险相互独立()求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；()X表示该地的位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的分布列和期望．（19(本小题满分12分) (注意：在试题卷上作答无效)如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E，F分别是BC, PC的中点(Ⅰ)证明：AEPD；(Ⅱ)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值(20)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记(Ⅰ)求数列的通项公式；()记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有．(21)(本题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且．()求椭圆的方程；()过点不垂直于直线与椭圆m交于PQ两点，设D为椭圆m与轴负半轴的交点，且求实数的取值范围．(22)(本题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)设函数的定义域为（0，）(Ⅰ)求函数在上的最小值；()设函数，如果，且，证明：桂林中2014届高三毕业班数学理科参考答案一、选择题（每小题5分）题号123456789101112答案CADDBACABDCB二、填空题（每小题5分）13. －2 14. 5 15. －1008 16. 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（本小题满分1分） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）18. （本小题满分12分）（）设该车主购买乙种保险的概率为P，则（1-0.5）×P=0.3，故P=0.6该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1-0.5）（1-0.6）=0.2， 由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为1-0.2=0.8．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X的可能值为，当ξ=1时，，当ξ=2时，，当ξ=3时，，．．所以ξ的分布列为：ξ0123P0.5120.3840.0960.008．．．（10分）由于ξ~B(3，0.2)，所以Eξ=3×0.2=0.6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）19．（本小题满分12分）因为E为BC的中点，所以AE⊥BC. 又 BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以 AE⊥PD. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（Ⅱ）解法1：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以 当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时 tan∠EHA=因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以 PA=2.因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC⊥平面ABCD. 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC， 过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，．．．．．（9分） 在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=, 又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=, 又 在Rt△ESO中，cos∠ESO= 即所求二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）设平面AEF的一法向量为则 因此取因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）所以 cos＜m, ＞=因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）20． （本小题满分12分）时，……………………..(1分)又 ……………………..(3分)数列成等比数列，其首项，公比是………………………….. ………………………………………………(5分) …………………………………….. …….. …….. …….. (6分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知.. …….. (7分) = .. …….. (9分) 又当当21． （本小题满分12分）解:m： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）1°当k=0时，显然－20 可得 ①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）设则 ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）由 ∴ ②∴t>1 将①代入②得 1
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