金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学（必）一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上．1． 设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝ ▲ ．【答】｛x｜－1≤x＜2｝复数i2（1－2i）的实部是 ▲ ．【答】（－1）3.命题“x∈R，x2+ax+10）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 【答】2 【】由题意，∴．.已知直线l平面α，直线m平面β，则下列四个命题：①若α∥β,则l⊥m； ②α⊥β,则l∥m；③若l∥m,则α⊥β； ④l⊥m,则α∥β.其中正确命题的序号是 ▲ ．【答】 ①③9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y = 5下方的概率为 ▲ ．【答】 ．【】点P在直线x＋y = 5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故其概率为 = ．已知fx)=3sin(2x－，若存在α，使fα+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α= ▲ ． 【答】11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 ▲ ．【答】(－2,1)已知函数f(x) lg(x-1) 若a≠b,f(a)= f(b) ,则a+2b的取值范围是 ▲ ．【答】13..定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____ ▲ ．【答】604【】由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数. 在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.14.已知函数f(x)，若对任意的实数xx2,x3,不等式f(x)+ f(x2) >f(x3)恒成立，则实数k的取值范围是 ▲ ．【答】．【】，令，则．原题等价为：对于，恒成立，求实数k的取值范围．（1）当时，显然成立；（2）当时，，由，得；（3）当时，，由，得．综上，实数k的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知a=(2cosx , 2sinx) ，bcosx , cosx),设函数f(x)a?b-, 求： f(x)的最小正周期单调递增区间；若且α(,π). 求α.解===-3分函数的最小正周期为 ---------------5分由，得（）∴函数的单调递增区间为 ---------------8分∵，∴，∴…………………………………………………………11分∴，∵，∴，∴或，∴或 ---------------14分16．(本题满分14分) 如图四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中点G是AEDF的交点.（1）求证GH∥平面CDE；（2）求证面ADEF面ABCD.证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，， ---------------分 ∵ABCD为平行四边形∴AB∥CD ∴，----------------------------------------------4分又∵∴平面 -------------------7分⑵， 所以， -------------------9分 又因为四边形为正方形，， ------------------10分，，- -----------------12分. ----------------14分17．（本题满分14分）已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1a3, a2+5> a4，数列{bn}满足bn ，其前n项和为Sn．求数列{an}的通项公式；若S2为S1，Sm (m∈N＊)的等比中项求正整数m的值．等差数列{an}{cn}的前n项 和Tn解：（1）由题意，得解得0,a≠1)（1）若a，且关于x的方程f(x)m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；（2）设函数g(x) f(-x)，x∈[-2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，…………………………………………2分所以，…………………………………………………………………4分解得，故实数的取值范围为区间.……………………………6分(2)①当时，a)时，，，所以 ， b)时，，所以 ……8分 ?)当即时，对，，所以 在上递增，所以 ，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合…10分 ?)当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求．………12分②当时，a) 时，，，所以 b) 时，，，所以 ，在上递减，所以 ，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合……1分综上所述，实数a的取值范围是．………………………………………………16分金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学（附加题）21【选做题】在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4―1：几何证明选讲 如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证： （1）l是⊙O的切线； （2）PB平分∠ABD证明：（1）连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，从而OP⊥l因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线 ...........5分 （2）连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP 又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD .........10分B．选修4―2：矩阵与变换已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．（1）MN＝ ＝； …………5分 （2）设P(x，y)，则解法一： ＝，即 解得即P(，－1)． …………10分 解法二： 因为＝．所以＝ ＝． 即P(，－1)． …………10分C．选修4―4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中的参数方程为（为参数），若以直角江苏省南京市金陵中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试数学试题（纯word版）有附加题
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