3．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设袋子中装有 个红球, 个黄球, 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.
(1)当 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量 为取出此2球所得分数之和,.求 分布列;
(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量 为取出此球所得分数.若 ,求
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ,此时 ;所以 的分布列是:
23456
P
(Ⅱ)由已知得到: 有三种取值即1,2,3,所以 的分布列是:
123
P
所以: ,所以 .
4．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 t该产品获利润 元,未售出的产品,每 t亏损 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 t该农产品,以 (单位:t, )表示下一个销售季度内的市场需求量, (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.
(Ⅰ)将 表示为 的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润 不少于57000元的概率;
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 ,则取 ,且 的概率等于需求量落入 的概率),求利润 的数学期望.
【答案】
5．（2013年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从 (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 .若 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求 的分布列和数学期望.
【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有 种, 时,两向量夹角为 直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为 .
(2)两向量数量积 的所有可能取值为 时,有两种情形; 时,有8种情形; 时,有10种情形.所以 的分布列为:
.
6．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ,假设各局比赛结果相互独立.
(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;
(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分 的分布列及数学期望.
【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件 ,“甲队以3:1胜利”为事件 ,“甲队以3:2胜利”为事件 ,由题意,各局比赛结果相互独立,
故 ,
,
所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是 , , ;
(Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件 ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以
由题意,随机变量 的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得
,
,
,
故 的分布列为
0123
所以
7．（2013年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数 是服从正态分布 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 .
(I)求 的值;(参考数据:若 ,有 , , .)
(II)某客运公司用 . 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次, . 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求 型车不多于 型车7辆.若每天要以不小于 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备 型车. 型车各多少辆?
【答案】解:(I)
(II)设配备 型车 辆, 型车 辆,运营成本为 元,由已知条件得
,而
作出可行域,得到最优解 .
所以配备 型车5辆, 型车12辆可使运营成本最小.
8．（2013年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
【答案】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(BA)+P(C)P(DC)= + =
(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1- = ,P(X=500)= ,P(X=800)= = ,
∴X的分布列为
X400500800
P
EX=400× +500× +800× =506.25
9．（2013年高考四川卷（理））某算法的程序框图如图所示, 其中输入的变量 在 这 个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 ;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 次后,统计记录了输出 的值为 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
运行
次数 输出 的值
为 的频数输出 的值
为 的频数输出 的值
为 的频数
甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)
运行
次数 输出 的值
为 的频数输出 的值
为 的频数输出 的值
为 的频数
当 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;
(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出 的值为2的次数 的分布列及数学期望.
【答案】解: .变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故 ;
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故 ;
当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故
当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:
输出 的值
为 的频率输出 的值
为 的频率输出 的值
为 的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大
(3)随机变量 可能饿取值为0,1,2,3.
故 的分布列为
所以
即 的数学期望为1
2．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师 和张老师负责,已知该系共有 位学生,每次活动均需该系 位学生参加( 和 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自 活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为
(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(Ⅱ)求使 取得最大值的整数 .
【答案】解: (Ⅰ) .
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