2013年高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试 新人教B版

1.(2011•北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是(　　)
A .692　　 　B．69　　　　
C．93　　　　D．189
[答案]　C
[解析]　由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，
又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.
所以S5＝a11－q51－q＝3×1－321－2＝93.
2．(2011•潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为(　　)
A.1－52 B.5＋12
C.5－12 D.5＋12或5－12
[答案]　B
[解析]　∵a2，12a3，a1成等差数列，
∴a3＝a2＋a1，
∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，
∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝5－12.
∴a3＋a4a4＋a5＝1q＝5＋12.
3．()(2011•青岛一模)在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为(　　)
A．81 B．120
C．168 D．192
[答案]　B
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，根据题意及等比数列的性质可知：a5a2＝27＝q3，所以q＝3，所以a1＝a2q＝3，所以S4＝31－341－3＝120.
(理)(2011•吉林长春模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为(　　)
A.8532 B.3116
C.158 D.852
[答案]　B
[解析]　∵9S3＝S6，∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6，
∴8＝q3，∴q＝2，
∴an＝2n－1，∴1an＝(12)n－1，
∴{1an}的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B.
4．(2011•江西抚州市高三模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1、S3、S2成等差数列，则{an}的公比等于(　　)
A.1 B.12
C.－12 D.1＋52
[答案]　C
[解析]　2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q，
得q＝－12，故选C.
5．()(2011•哈尔滨九中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为(　　)
A.2n＋1－13 B.2n＋1－23
C.22n－13 D.22n－23
[答案]　C
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
∴an＝2n－1(n∈N*)，
则数列{an}的奇数项的前n项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C.
(理)(2011•泉州市质检)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为(　　)
A．12 B．14
C．15 D．16
[答案]　D
[解析]　a5＋a6＋a7＋a8a1＋a2＋a3＋a4＝q4＝2，由a1＋a2＋a3＋a4＝1.
得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，
即a1•1－q41－q＝1，∴a1＝q－1，
又Sn＝15，即a11－qn1－q＝15，
∴qn＝16，
又∵q4＝2，∴n＝16.故选D.
6．(2011•安徽皖南八校联考)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于(　　)
A．－43 B．－32
C．－23或－ 32 D．－34或－43
[答案]　C
[解析]　集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，
∴q＝－32或－23.
7．已知f(x)是一次函数，若f(3)＝5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值是________．
[答案]　10000
[解析]　设f(x)＝kx＋b，f(3)＝3k＋b＝5，由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k＋b)2＝(k＋b)•(5k＋b)，可得k＝2，b＝－1.∴f (n)＝2n－1，
则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋100×992×2＝10000.
8．()(2010•安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an＝________.
[答案]　n＋1
[解析]　设等差数列首项a1，公差d，则
∵a1、a3、a7成等比，∴a23＝a1a7，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，
又S7＝7a1＋7×62d＝35d＝35，
∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1.
(理)(2010•浙江金华)如果一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1，a2，…，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)
[答案]　27
[解析]　适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．
9．(2011•锦州模拟)在等比数列{an}中，若公比q>1，且a2a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7＝________.
[答案]　23
[解析]　∵a2a8＝6，∴a4a6＝6，
又∵a4＋a6＝5，且q>1，∴a4＝2，a6＝3，
∴a5a7＝a4a6＝23.
10．()(2011•大纲全国，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
[解析]　设{an}的公比为q，由已知有：
a1q＝66a1＋a1q2＝30.解得a1＝3q＝2或a1＝2q＝3
(1)当a1＝3，q＝2时，an＝a1•qn－1＝3×2n－1
Sn＝a11－qn1－q＝3×1－2n1－2＝3×(2n－1)
(2)当a1＝2，q＝3时，an＝a1•qn－1＝2×3n－1
Sn＝a11－qn1－q＝2×1－3n1－3＝3n－1.
综上，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)或an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
(理)(2011•东临沂一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＝32(1a3＋1a4)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，
由已知得a1＋a1q＝2(1a1＋1a1q)，
a1q2＋a1q3＝32(1a1q2＋1a1q3)．
化简得a21qq＋1＝2q＋1，a21q5q＋1＝32q＋1，即a21q＝2，a21q5＝32.
又∵a1>0，q>0，解得a1＝1，q＝2.∴an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝a2n＋log2an＝4n－1＋(n－1)，
∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n－1)
＝4n－14－1＋nn－12＝4n－13＋nn－12.

11.()(2011•辽宁六校模考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是(　　)
A.a5a3 B.S5S3
C.an＋1an D.Sn＋1Sn
[答案]　D
[解析]　数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q＝－2，a5a3＝q2＝4；S5S3＝1－q51－q3＝113；an＋1an＝q＝－2；Sn＋1Sn＝1－qn＋11－qn，其值与n有关，故选D.
(理)(2011•浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为(　　)
A.5－12 B.12
C.5－14 D.5＋14
[答案]　A
[解析]　设三内角A<B<C，
∵sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，
∴c2－a2＝ac，∴ac2＋ac －1＝0.
∵ac>0，∴ac＝5－12＝sinA，故选A.
[点评]　在△ABC中，由正弦定理a＝2RsinA、b＝2RsinB可知，a<b⇔A<B⇔sinA<sinB.
12．()(2011•辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log13 (a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－5 B．－15
C．5 D.15
[答案]　A
[分析]　根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．
[解析]　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∵an>0，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，
∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，
∴log13 (a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.
(理)已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是(　　)
A．S4a5<S 5a4 B．S4a5>S5a4
C．S4a5＝S5a4 D．不确定
[答案]　A
[解析]　(1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a21－5a21＝－a21<0.
(2)当q≠1且q>0时，
S4a5－S5a4＝a211－q(q4－q8－q3＋q8)＝a21q31－q(q－1)
＝－a21q3<0.
[点评]　作差，依据前n项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：
已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，试比较S3a3与S5a5的大小．
[解析]　当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3 <S5a5；
当q>0且q≠1时，
S3a3－S5a5＝a11－q3a1q21－q－a11－q5a1q41－q
＝q21－q3－1－q5q41－q＝－q－1q4<0，
所以有S3a3<S5a5.
综上可知有S3a3<S5a5.
13．()(2011•长春模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝a3na2n＋1，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有Sn>Tn，则数列{an}的公比q的取值范围是(　　)
A．0<q<1 B．q>1
C．q>2 D．1<q<2
[答案]　B
[解析]　由于{an}是等比数列，公比为q，所以bn＝a3na2n＋1＝1q2an，于是b1＋b2＋…＋bn＝1q2(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝1q2•Sn.又Sn>Tn，且Tn>0，所以q2＝SnTn>1.因为an>0对任意n∈N*都成立，所以q>0，因此公比q的取值范围是q>1.
(理)(2011•榆林模拟)在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn }的前n项和为Sn，则当S11＋S22＋…＋Snn最大时，n的值等于(　　)
A．8 B．9
C．8或9 D．17
[答案]　C
[解析]　∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a23＋2a3a5＋a25＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5，
又q∈(0,1)，∴a3>a5，
∵a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，
∴q＝12，a1＝16，an＝16×(12)n－1＝25－n，
bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝ －1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝n9－n2，∴Snn＝9－n2，
∴当n≤8时，Snn>0；当n＝9时，Snn＝0；当n>9时，Snn<0，
∴当n＝8或9时，S11＋S22＋…＋Snn最大．
14．(2011•新标全国，17)已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q＝13.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝1－an2；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
[解析]　(1)因为an＝13×13n－1＝13n，
Sn＝131－13n1－13＝1－13n2，
所以Sn＝1－an2.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)
＝－nn＋12.
所以{bn}的通项公式为bn＝－nn＋12.
15．()(2011•东淄博一模)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)设数列{an}的公比为q(q>1)，
由已知，得a1＋a2＋a3＝7，a1＋3＋a3＋42＝3a2，
即a1＋a2＋a3＝7，a1－6a2＋a3＝－7，a11＋q＋q2＝7，a11－6q＋q2＝－7，
解得a1＝1，q＝2.
故 数列{an}的通项为an＝ 2n－1
(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2，
又bn＋1－bn＝3ln2，
∴{bn}是以b1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列．
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝nb1＋bn2＝n3ln2＋3nln22＝3nn＋1ln22
即Tn＝3nn＋12ln2.
(理)(2011•安 庆模拟)已知数列{an}中，a1＝12，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3….
(1)令bn＝an＋1－an－1，求证数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项．
[解析]　(1)由已知得2an＋1＝an＋n，又a1＝12，
∴a2＝34，b1＝a2－a1－1＝34－12－1＝－34，
又∵bn＝an＋1－an－1，∴bn＋1＝an＋2－an＋1－1，
∴bn＋1bn＝an＋2－an＋1－1an＋1－an－1
＝an＋1＋n＋12－an＋n2－1an＋1－an－1
＝an＋1－an－12an＋1－an－1＝12.
∴{bn}是以－34为首项，以12为公比的等比数列．
(2)由(1)知，bn＝－34×(12)n－1＝－3×(12)n＋1
∴an＋1－an＝1－3×(12)n＋1，
∴a2－a1＝1－3×(12)2
a3－a2＝1－3×(12)3
……
an－an－1＝1－3×(12)n
各式相加得an＝n－1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n]＋12
＝n－12－3×14×[1－12n－1]1－12＝32n＋n－2.

1．(2010•常德市检测)已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{a2n}的前n项的和为(　　)
A．4n－1 B.13(4n－1)
C.43(4n－1) D．(2n－1)2
[答案]　B
[解析]　n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an＝2n－1(n∈N*)．
设bn＝a2n，则bn＝(2n－1)2＝4n－1，
∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n项和Tn＝1×4n－14－1＝13(4n－1)．
2．(2010•宁波市模拟)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为(　　)
A．4 B．6
C．8 D． 10
[答案]　C
[解析]　由题意知，85q＝170，∴q＝2，
∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n＝8.
3．(2011•东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案]　D
[解析]　由题意可知，a27＝2(a3＋a11)＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝b27＝a27＝16.
4．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则ax＋cy＝________.
[答案]　2
[解析]　由条件知x＝a＋b2，y＝b＋c2，c＝bq，a＝bq，
∴ax＋cy＝2aa＋b＋2cb＋c＝2bqbq＋b＋2bqb＋bq
＝21＋q＋2q1＋q＝2.
5．已知{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4 S4，设bn＝q＋Sn.
(1)求q的值；
(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，求出a1的值；若不是，请说明理由．
[解析]　(1)由题意知5S2＝4S4，
S2＝a11－q21－q，S4＝a11－q41－q，
∴5(1－q2)＝4(1－q4)，又q>0，∴q＝12.
(2)∵Sn＝a11－qn1－q＝2a1－a112n－1，
于是bn＝q＋Sn＝12＋2a1－a112n－1，
若{bn}是等比数列，则12＋2a1＝0，
∴a1＝－14.此时，bn＝12n＋1.
∵bn＋1bn＝12n＋212n＋1＝12，∴数列{bn}是等比数列．
所以存在实数a1＝－14，使数列{bn}为等比数列．
6．(2010•福建龙岩一模)已知数列{an}和{bn}，数列{an}的 前n项和记为Sn.若点(n，Sn)在函数y＝－x2＋4x的图象上，点(n，bn)在函数y＝2x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)由已知得Sn＝－n2＋4n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5，
又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．∴an＝－2n＋5.
(2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)2n.
Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，
2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1，
两式相减可得
Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋( －2n＋5)×2n＋1
＝231－2n－11－2＋(－2n＋5)×2n＋1－6
＝(7－2n)×2n＋1－14.

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