2013年高考数学(理)押题精粹（课标版）
（30道选择题+20道非选择题）
一．选择题（30道）
1.设集合 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2. 已知 是实数集，集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
3.已知i为虚数单位，则复数 等于（ ）
A．-1-iB．-1+iC．1+iD．1—i
4.复数 在复平面上对应的点不可能位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. “ ”是“方程 表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.若命题“ R，使得 ”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ ）
A.0 B.
C. D.
8.下面的程序框图中，若输出 的值为 ，则图中应填上的条件为（ ）
A． 　B． C． D．
9.右图是函数 在区间
上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将
的图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的 倍，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
10.已知 则 的值（　　）
A．随着k的增大而增大
B．有时随着k的增大而增大,有时随着k的增大而减小
C．随着k的增大而减小
D．是一个与k无关的常数
11.关于函数 的四个结论:
P1:最大值为 ;
P2:最小正周期为 ;
P3:单调递增区间为 Z;
P4:图象的对称中心为 Z.其中正确的有（　　）
A．1 个B．2个C．3个D．4个
12. 是两个向量， ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
13.已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c?a=c?b=1,,则对任意正实数t, 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
14.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（ ）
A． B．
15．正方形 的边长为 ,中心为 ,球 与正方形 所在平面相切于 点,过点 的球的直径的另一端点为 ,线段 与球 的球面的交点为 ,且 恰为线段 的中点,则球 的体积为（　　）
A． B． C． D．
16.不等式组 表示面积为1的直角三角形区域，则 的值为（ ）
Ａ. B. C. D.
17.设函数 ， . 若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 （ ）.
A. B. C. D.
18、一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）
A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种
19、二项式 的展开式中常数项是（ ）
A．28 B．-7 C．7 D．-28
20、高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为（ ）
　　　A. 　　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
一、 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种
树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗测
量它们的高度，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地
抽取树苗的高度的平均数 和中位数 进行比
较，下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22、公差不为0的等差数列{ }的前21项的和等于前8项的和．若 ，则k＝（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
23、已知数列 为等比数列， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
24. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点,过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点,若 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
25．圆 －2x＋my－2＝0关于抛物线 ＝4y的准线对称，则m的值为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
26．已知抛物线 的焦点到准线的距离为 , 且 上的两点 关于直线 对称, 并且 , 那么 =（　　）
A． B． C．2D．3
27．如果函数 图像上任意一点的坐标 都满足方程 ，那么正确的选项是（ ）
(A) 是区间（0， ）上的减函数，且
(B) 是区间（1， ）上的增函数，且
(C) 是区间（1， ）上的减函数，且
(D) 是区间（1， ）上的减函数，且
28．定义在R上的奇函数 ，当 ≥0时， 则关于 的函数 （0＜ ＜1）的所有零点之和为（ ）
（A）1- （B） （C） （D）
29． 的展开式中, 的系数等于40,则 等于（　　）
A． B． C．1D．
30．已知函数 ,
,设函数 ，
且函数 的零点均在区间 内，则 的最小值为（ ）
A． B． 　 C． D．
二．填空题（8道）
31.已知A ,B(0,1)),坐标原点O在直线AB上的射影为点C,则 = .
32.在 的展开式中，含 项的系数是________.（用数字作答）
33.若实数 、 满足 ，且 的最小值为 ，则实数 的值为__
34.已知四 面体 的 外接球的球心 在 上,且 平面 , , 若四面体 的体积为 ,则该球的体积为_____________
35.已知 是曲线 与 围成的区域，若向区域 上随机投一点 ，则点 落入区域 的概率为 ．
36.公比为4的等比数列 中,若 是数列 的前 项积,则有 也成等比数列,且公比为 ；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列 中，若 是 的前 项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为_____________.
37.在 中,角 所对的边分别为 ,且 ,当 取最大值时,角 的值为_______________
38.已知抛物线 的准线为 ,过点 且斜率为 的直线与 相交于点 ,与 的一个交点为 ,若 ,则 等于____________
三．解答题（12道）
39、 中， ， ， 分别是角 的对边，向量 ， , ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值．
40、已知等差数列 的首项 ，公差 ．且 分别是等比数列 的 ．
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 对任意自然数 均有 … 成立，求 … 的值.
41、一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示：
学生
（1）请在直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；
（2）要从 名数学成绩在 分以上的同学中选 人参加一项活动，以 表示选中的同学的物理成绩高于 分的人数，求随机变量 的分布列及数学期望 的值．
42、十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意　单位：名
男女总计
满意503080
不满意102030
总计6050110
(1)从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；
(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关
附：
P( )
0.0500.0250.0100.005
3.8415.0246.6357.879
43、如图在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,侧面 底面 ，且 ,设 、 分别为 、 的中点．
(Ⅰ) 求证： //平面 ；
(Ⅱ) 求证：面 平面 ；
(Ⅲ) 求二面角 的正切值．
44、已知椭圆 : 的焦距为 ,离心率为 ,其右焦点为 ,过点 作直线交椭圆于另一点 .
(Ⅰ)若 ,求 外接圆的方程;
(Ⅱ)若过点 的直线与椭圆 相交于两点 、 ，设 为 上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围.
45. 已知定点A(1，0), B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD,使其两对 角线的交点恰好落在y轴上.
(1)求动点D的轨迹五的方程.
(2)若四边形MPNQ的四个顶点都在曲线E上，M，N关于x轴对称，曲线E在M点处的切线为l，且PQ//l
①证明直线PN与QN的斜率之和为定值；
②当M的横坐标为 ，纵坐标大于O, =60°时，求四边形MPNQ的面积
46. 对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有 ＞ 成立，则称函数 是D上
的J函数．
（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，
①试比较g（a）与 g（1）的大小；
②求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有
g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．
47. 设函数 ， ．
(Ⅰ)讨论函数 的单调性；
(Ⅱ）如果存在 ，使得 成立，求满足上述条件的最大整数 ；
（Ⅲ）如果对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
48.选修4-1:几何证明选讲.
如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且AB= AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2， =30.
(1)求AF的长.
(2)求证：AD=3ED.
49. 在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线 ,已知过点 的直线 的参数方程为： ，直线 与曲线 分别交于 两点.
（1）写出曲线 和直线 的普通方程；
（2）若 成等比数列,求 的值．
50. 选修4-5：不等式选讲
设
（1）当 ，求 的取值范围；
（2）若对任意x∈R， 恒成立，求实数 的最小值．
2013年高考数学(理)押题精粹（课标版）
【参考答案与解析】
二．选择题（30道）
1.【答案】A
2.【答案】D
【点评】:集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的运算相结合，不外乎上述几种题型。侧重考查简单的不等式的有关知识。
3.【答案】A
【解析】 ，选A.
4.【答案】A
【点评】3、4题考查的是复数有关知识。复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面、复数概念等，理科一般都只考简单的复数乘除法运算，且比较常规化。
5.【答案】C
6.【答案】A
【点评】:上面5、6题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。单独考查简易逻辑相关的概念不多见，按照近几年高考真题的特点来讲，结合其他知识点一同考查是总趋势，
如5题。一般和不等式相结合的也时有出现，如6题。
7.【答案】C
8.【答案】B
【点评】7,8题考查的内容是程序框图。程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题7；一种是根据题意补全程序框图，如题8.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。
9. 【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】C
【点评】根据三角函数的图像确定三角函数的解析式是综合考察三角函数知识的掌握程度的重要手段，再结合三角函数图象的平移问题，使得这种题型常考常新，作为中档题是历年高考考察的重点，如9题；三角函数求值是历年高考的常考点，应用三角函数恒等变换化简式子并引入参数是一种创新题型，知识的综合程度较高，或许这种题型在未来几年的高考中会出现，如10题；结合三角函数的恒等变换，综合分析函数的性质，是对三角函数知识点的综合考察，要求知识的掌握程度为中等，历年高考对三角函数知识点的考察亦以中档容易为主，如11题。
12.【答案】C
13.【答案】B
【点评】向量的数量积是高考的必考点，多以容易和中档题目出现，常以求向量的模、夹角来考察该知识点，如12题；有时也以函数、解三角形或不等式结合综合考察求最值问题，如13题。
14. 【答案】B
15．【答案】B
【点评】14题中，三视图是新课标新增内容，在历年高考中都成为各地高考试卷出题的必考内容，多以求体积或表面积为主，本知识着重考察空间想象力和计算求解能力；在立体几何知识的考察中近几年多以三视图或与球结合的综合问题，对球的考察以球的体积或表面积为问题设置点，利用空间线面关系确定相应一些数量求解，如15题。
16.【答案】D
17.【答案】A
【点评】不等式的考察中，有不等式的性质、线性规划、基本不等式、简易逻辑，常以函数、数列、向量相结合考察。16题中线性规划求参数问题也许在未来的高考题中会同样出现；17题中以函数相结合利用函数性质求参数的取值班范围，也是高考在不等式知识点出题的热点。
18.【答案】D
19.【答案】C
20.【答案】B
【答案】B
【点评】18、19、20、21题为排列组合及概率统计模块，此模块主要考查：频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、独立性检验、几何概型和古典概型、抽样（特别是分层抽样）、排列组合、二项式定理、几个重要的分布等，每年会考其中之一，故应特别注意。
22.【答案】C
23、【答案】D
【点评】22、23题为数列模块，如果不考大题，则会考两个小题，小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题。
24.【答案】C新 课 标 第 一 网
25．【答案】B
26.【答案】A
【点评】解析几何模块主要考查：直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助于图形可容易求解，其中双曲线几乎是客观题的必考内容,小题特别关注直线、圆、抛物线、双曲线以及它们之间综合.
27．【答案】C
28．【答案】A
29.【答案】A
30．【答案】C
解：函数的导数为 ，由 得 ，即函数的极小值为 ，所以 。当 时， ，又 ，所以在 上函数有且只有一个零点，即 在 上函数有且只有一个零点. ，由 得 ，即函数的极小值为 ，所以 。当 时， ，又 ， ， ，所以在 上函数 有且只有一个零点，即 在 上函数有且只有一个零点，又函数 的零点均在区间 内，所以 ，即 ，所以 的最小值为10，选C.
【点评】函数与导数模块近几年一般考查2-3个小题，主要考查分段函数、初等函数的性质、函数的图象、函数的零点、以及导数应用等，多个知识点综合考查是热点.
三．填空题（8道）
31.【答案】
【解析】由题意知 . .所以 .
【点评】向量的填空题数量积是高考命题的一个重要方向，一般不是太难，重视基本运算。
32.【答案】15
【解析】∵ ，当 ，即 ，∴含 项的系数是
.
【点评】二项式定理多考常规题，难度不大，一定要记住公式. .
33.【答案】
【点评】线性规划多考常规题，不过现在常规题型高考都考过了，加点难度。
34.【答案】
【点评】球的组合体是高考每年必考的知识点，题型不是选择就是填空。
35.【答案】
【解析】由题知：此题是几何概型问题，从而
点评：几何概型是高考常考的题型，理科定积分和几何概型组合考查也要引起注意。
36.【答案】300
【点评】推理与证明作为新课标的新增知识点，高考出现是必要的，此题考查了类比推理的应用。当然归纳推理也要掌握。
37.【答案】
【点评】解三角形是高考的重要组成部分，不在客观题考查，就在解答题中出现，尤其2010年和2014年高考都作为填空题考查。解三角形所涉及的知识点要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等。
38.【答案】 2
【点评】2014年高考解答题考了抛物线，2013年解答题要考椭圆，填空题考查双曲线或抛物线的定义性质。
三．解答题（12道）
39.【解析】
（1）
（2） ，
综上
【点评】高考三角类解答题无非就是两种，（1）三角函数题——考查三角函数的性质或图像；（2）是解三角形，有点省份也会考解三角形的应用题。常常与向量结合出题。
40.【答案】（Ⅰ）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列
∴
∴
又∵ .　
　∴
（Ⅱ）∵ … ①
∴ 　即 ，又 … ②
①－②： 　
∴
∴
则 … …
【点评】新课标下对数列的考查要求降低，只对等差、等比数列通项和求和要求掌握。其中的一次些常规方法（错位相减，倒序相加等）特别注意。
41. 【答案】（1）散点图如右图所示．
= = ，
= = ，
，
， ，
故这些数据的回归方程是：
（2）随机变量 的可能取值为 ， ，
； ；
故 的分布列为：
= + + =
42.【答案】
【点评】概率题主要考察茎叶图、抽样方法、直方图、统计案例、线性回归方程、概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，试题多考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识。这里将其两两结合处理。
43.【答案】法一：
(Ⅰ)证明： 为平行四边形
连结 ， 为 中点，
为 中点∴在 中 // 　
且 平面 ， 平面
∴
(Ⅱ)：因为面 面 　平面 面 　
为正方形， ， 平面
　所以 平面 　∴
又 ，所以 是等腰直角三角形，
且 　　　即
　 ，且 、 面 　　
面
又 面 　　面 面
(Ⅲ)设 的中点为 ,连结 , ,
则 由(Ⅱ)知 面 ,　
， 面 ， ，
是二面角 的平面角
中， 　
　故所求二面角的正切值为
法二：如图,取 的中点 , 连结 , .
∵ , ∴ .
∵侧面 底面 ,
,
∴ ,
而 分别为 的中点,∴ ,
又 是正方形,故 .
∵ ,∴ , .
以 为原点,直线 为 轴建立空间直线坐标系,
则有 , , , , , .
∵ 为 的中点, ∴
（Ⅰ）易知平面 的法向量为 而 ,
且 , ∴ //平面
(Ⅱ)∵ , ∴ ,
∴ ,从而 ,又 , ,
∴ ,而 ,
∴平面 平面 ．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 的法向量为 .
设平面 的法向量为 .∵ ,
∴由 可得 ,令 ,则 ,
故 ∴ ,
即二面角 的余弦值为 ,
所以二面角 的正切值为
【点评】空间几何体的解答题一般以柱体或锥体为背景，考查线面、面面关系，空间角和距离等，主要用向量方法来处理。去年考的是柱体，今年预测为锥体。
44．【答案】(Ⅰ)由题意知： ， ，又 ，
解得： 椭圆 的方程为：
可得： ， ,设 ，则 ， ，
， ，即
由 ，或
即 ，或
①当 的坐标为 时， ， 外接圆是以 为圆心， 为半径的圆，即
②当 的坐标为 时， ， ，所以 为直角三角形，其外接圆是以线段 为直径的圆，圆心坐标为 ，半径为 ，
外接圆的方程为
综上可知： 外接圆方程是 ，或
(Ⅱ)由题意可知直线 的斜率存在.
设 ， ， ，
由 得：
由 得： （ ）
， 即
，结合（ ）得：
，
从而 ，
点 在椭圆上， ，整理得：
即 ， ，或
【点评】圆锥曲线大题一般以椭圆和抛物线为主，求标准方程、离心率为主，并结合向量、直线和其它知识点考查学生的综合推理、运算能力。
45.【答案】
(1) 设 ，则由于菱形 的中心 在 轴上，顶点 在 轴上，所以 ， ，而 ，所以 ， .
又 ，所以 ，即 .
而 不可能在 轴上，所以顶点 的轨迹 的方程为 . (5分)
(2) ①设 ， ， (不妨令 )，则 ，
则 ，
同理 ， ，
而 ，
因为 ，所以 ，因此 即 ，
所以 ，即直线 与 的斜率之和为定值.
(8分)
② 因为 点横坐标为 ，且纵坐标大于0，所以 ， .
由于 ，且 轴，所以 平分 ，
而 ，所以 ， .
从而直线 ，即 ；
直线 ，即 .
由 消去 并整理得 ，
所以 ，即 .
同理 消去 并整理得 .
所以 ，即 .
因此 为所求.
【点评】高考对圆锥曲线这部分主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的综合应用能力，本小题不仅涉及到轨迹的求法、而且涉及到直线与抛物线的相关知识以及圆锥曲线中面积求取知识的综合知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求，符合作为压轴题的特点.
46. 【答案】
（Ⅰ）由 ，可得 ，
因为函数 是 函数，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 的取值范围为 .
（Ⅱ）①构造函数 ，
则 ，可得 为 上的增函数，
当 时， ，即 ，得 ；
当 时， ，即 ，得 ；
当 时， ，即 ，得 .
②因为 ，所以 ，
由①可知 ，
所以 ，整理得 ，
同理可得 ，…， .
把上面 个不等式同向累加可得
.
47.【答案】（Ⅰ） ， ，
① ，函数 在 上单调递增，
② ， ，函数 的单调递增区间为
，函数 的单调递减区间为
（Ⅱ）存在 ，使得 成立
等价于： ，
考察 ， ，
0
递减极（最）小值 递增
由上表可知： ，
，
所以满足条件的最大整数 ；
（Ⅲ）当 时， 恒成立
等价于 恒成立，
记 ，所以 ,
， .
记 ， ，
即函数 在区间 上递增，
记 ， ，
即函数 在区间 上递减，
取到极大值也是最大值
所以 。
另解 ， ，
由于 ， ,
所以 在 上递减，
当 时， ， 时， ，
即函数 在区间 上递增，
在区间 上递减，
所以 ，所以 .
【点评】导数题似乎已经被默认高考解答题的最后一题（当然个别省份不是），一般以三次多项式函数、指数函数或对数函数为背景，考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，考查点极为全面，像46、47题把三种函数背景都涵盖在内，问题也作了相应创新，是很好的高考压轴题。
48.【答案】 (1) 延长 交圆 于点 ，连结 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
又 ，可知 .
所以根据切割线定理 ，即 .
(2) 过 作 于 ，则 与 相似，
从而有 ，因此 .
【点评】本小题主要考查平面几何的证明，图形背景新颖，具体涉及到切割线定理以及三角形相似等内容，重点考查考生对平面几何推理能力.
49. 【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）直线 的参数方程为 （ 为参数）,
代入 , 得到
则有 .
因为 ，所以 ，解得 .
【点评】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，考查了极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容同时。
50.【答案】（1）f(x)＝x－a≤3，即a－3≤x≤a＋3．依题意，a－3≤－1，a＋3≥3．
由此得a的取值范围是[0，2]
（2）f(x－a)＋f(x＋a)＝x－2a＋x≥(x－2a)－x＝2a．
当且仅当(x－2a)x≤0时取等号．
解不等式2a≥1－2a，得a≥ 1 4．
故a的最小值为 1 4．
【点评】纵观多年新课标高考题，绝大部分年份和省份的高考都以考查绝对值不等式的解法和性质为主，本小题不仅同时考查了绝对值不等式的解法和性质，并且题问作了相应的创新.


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