2014年2月20日下午3：00—5：002014届高三下学期入学考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={xx2?1≤0}，N={x，x∈Z}，则M∩N={?1，0，1}{?1，0}[?1，1）[?1，0]3．已知的展开式中的系数为,则A．B．C．D．4．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为 B.C. D. 5．设x＞0，y＞0，且+=4，则z的最小值是　A．?4B．?3C．D．6．若A为不等式组表示的平面区域，则当从?2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为　A．B．1C．D．27．函数）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与轴的交点，记∠APB=θ，则的值是A. B. C. D.8．下列命题中：①“x＞y”是“x2＞y2”的充要条件；②若“?x∈R，x2+2ax+1＜0”，则实数a的取值范围是（?∞，?1）∪（1，+∞）；③已知平面α，β，γ，直线m，l，若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α；④函数f（x）=（）x?的所有零点存在区间是（，）．其中正确的个数是　A．1B．2C．3D．49．某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有　A．474种B．77种C．462种D．79种10．已知函数f（x）=xex，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为　A．（，+∞）B．（?∞，）C．（?，?2）D．（2，）11．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（BA）等于　　．12．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有　　个．13．分别是椭圆的左、右焦点，与直线相切的⊙交椭圆于点E，且点E是直线与⊙的切点，则椭圆的离心率为 14．已知在平面直角坐标系中，A（?2，0），B（1，3），O为原点，且，（其中α+β=1，α，β均为实数），若N（1， 0），则的最小值是　　．15．，若对任意实数、恒成立，则的取值范围是_____ ___。三．解答题：本大题共6小题，共75分．其中，16—19题每小题满分为12分，20题为13分，21题14分；解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16.等差数列的各项均为正数，前项和为为等比数列，且，（Ⅰ）求与；求的图像经过点A（0，1）、。（Ⅰ）时，求函数的单调增区间；(Ⅱ)已知，且的最大值为，求的值。18. 某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望.19. 如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.（Ⅰ）若点是棱的中点，求证:平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.20. 已知椭圆：（）经过（1，1）与（，）两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点，椭圆上一点满足．求证：为定值．设函数）（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个极值点和记过点， 的直线的斜率为.问：是否存在，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：f（x）=xex=，当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=?ex?xex=?ex（x+1），由f′（x）=0，得x=?1，当x∈（?∞，?1）时，f′（x）=?ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（?1，0）时，f′（x）=?ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=xex在（?∞，0）上有一个最大值为f（?1）=?（?1）e?1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（ ，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（ ）＜0，即（ ）2+t+1＜0，解得：t＜?．所以，使得函数f（x）=xex，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（?∞，?）．故选B． 12. 3 13. 14. 15. 三．解答题16. 解：　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有解得或(舍去)故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝ ＝－17. 解：（1）由得：即。 当，即）时，为增函数。∴函数的单调增区间为。 ………6分（2），即有。当，即时，，得；当，即时，，无解；当，即时，，矛盾。故。 ………12分18. 解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为,……………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是， ……………………3分则 . ………………………6分(Ⅱ) 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，∴ ～ ……………………………9分∴X的分布列为01234 ………………………………11分∴X的数学期望 ……………………………12分19. （Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，.………………1分因为平面,平面,所以平面. ………………3分（Ⅱ）解：由题意，，因为，所以，. …………4分又因为菱形，所以，.建立空间直角坐标系，如图所示..所以 …6分设平面的法向量为，则有即：令，则，所以. ………7分因为,所以平面. 平面的法向量与平行，所以平面的法向量为. …………8分，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为. ……………9分（Ⅲ）解：因为是线段上一个动点，设，，则，所以， ……………10分则，，由得，即，……11分解得或， 所以点的坐标为或. ………12分（也可以答是线段的三等分点，或）20. 解：（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，得解得．∴椭圆PM2的方程为．（Ⅱ）由MA=MB，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时=．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时=．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，，∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．(2)由(1)知，a＞2.因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a?.又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a?.若存在a，使得k＝2－a，则＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.由x1x2＝1得x2－－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.MzyxDOCBAM四川省绵阳市2014届高三下学期入学考试数学（理）试题 Word版含答案
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