数学试题（文史类）
2013.4
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：
线性回归方程系数公式 ， ，
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1. 已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于
A．{6,8} B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
2．已知 为虚数单位，复数z= ，则复数 的虚部是
A． B． C． D．
3．已知 ，则函数 的零点的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为
A．4＋23 B.3－1
C. 3＋12 D.3＋1
5. 下边的程序框图，若输出S的值为－14，
则判断框内可填写
A．i<6? B．i<8?
C．i<5? D.i<7?
6. 将函数 的图象按向量 平移，则平移后所得图象的解析式为
A． B.
C． D．
7. 若某空间几何体的三视图如右图所示，
则该几何体的体积是
A．13 B．23 C. 1 D. 2
8. 已知点 是边长为1的等边 的中心，则 等于
A． B． C． D．
9. 某变量x与y的数据关系如下：
x174176176176178
y175175176177177
则y对x的线性回归方程为
A．y^＝x－1 B．y^＝x＋1 C．y^＝88＋12x D．y^＝176
10．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，， 则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是
A．95 B．91 C．88 D．75
11. 已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，则 等于
A．3 B.4 C. D.
12．已知数列 的通项公式为 (n )，现将该数列 的各项排列成如图的三角数阵：记 表示该数阵中第a行的第b个数，则数阵中的偶数2013对应于
第1行 1
第2行 3 5
第3行 7 9 11
第4行 13 15 17 19
…………………………………
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 函数 的单调递增区间是
14. 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程。
15. 已知向量
则 的值为 .
16．设函数f(x)=x- ,对任意 恒成立，则实数m的取值范围是 .
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本题满分12分）
已知函数 在点 处取得极值。
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程 在区间[0，2]上有两个不等实根，求b的取值范围；
18．（本题满分12分）
某公司生产A、B两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：
AB
优等品100x
一般品300400
按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A类20个。
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在B类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率。
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，
， 为 的中点。
（Ⅰ）若 ，求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）点 在线段 上， ，试确定 的值，使 平面 ；
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点。
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 的值。
21．（本小题满分12分）
已知函数 定义在 上， ，满足 ，且数列 ．
（Ⅰ）证明： 在（-1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）求 的表达式；
（Ⅲ）是否存在自然数m，使得对于任意 ，
有 成立.若存在，求m的最小值
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分） 选修4―1；几何证明选讲．
如图， 的角平分线 的延长线交它的外接圆于点
（Ⅰ）证明： ∽
（Ⅱ）若 的面积 ，求 的大小。
23.（本小题满分10分）选修4―4;坐标系与参数方程．
已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程 .
（Ⅰ）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，设曲线 上任一点为 ，求 的最小值.
24．（本小题满分10分）选修4―5；不等式选讲．
已知 ，设关于x的不等式 + 的解集为A.
（Ⅰ）若 =1,求A；
（Ⅱ）若 A=R, 求 的取值范围。
数学（文史类）参考答案及评分标准
18、解析：（1）由 ，解得 …………………………4分
（2）
法一：列举法
抽取容量为6的样本，则其中优等品为2个，一般品为4个，可设优等品为 ，
一般品为 ，
则从6个的样本中任抽2个的可能有 ， ， ， ， ， 共15种，
至少有一个是优等品的可能有 ， ，
共9种，
所以至少有一个优等品的概率是 ……………………12分
设 ，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为 并整理，
得
（Ⅱ）因为 ∽ 所以 ，即
又 ，且 ，故
则 又 为三角形内角，所以 …10分
23（１） ――――――――――5分
（２）曲线
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