2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（文史类）
第Ⅰ卷( 共60分)
一、：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
2．设点 ，则 且 是 点 在直线 上 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若集合 则 的子集个数为
A．2 B．3 C．4 D．16
4．双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于
A． B． C． D．
5．函数 的图像大致是
6．若变量 满足约束条件 则 的最大值和最小值分别为
A． B． C． D．
7．若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 后，
输出的 ，那么 的值为
A．3 B.4 C.5 D.6
9．将函数 的图像向右平移 个单位长度后得
到函数 的图像，若 的图像都经过点 ，则 的值可以是
A． B． C． D．
10．在四边形 中， ，则该四边形的面积为
A． B． C． D．
11．已知 之间的几组数据如下表：
123456
021334
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 ，若某同学根据上表中的前两组数据 和 求得的直线方程为 ，则以下结论正确的是
A． B． C． D．
12．设函数 的定义域为 是 的极大值点，以下结论一定正确的是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知函数 则 .
14. 利用计算机产生 之间的均匀随机数 ，则事件 发生的概率为 .
15. 椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为 .若直线
与椭圆 的一个交点 满足 ，则该椭圆的离心率等于 .
16．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数 满足：
（i） （ii）对任意 ，当 时，恒有 ，
那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：
①
②
③
其中，“保序同构”的集合对的序号是_______.（写出“保序同构”的集合对的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知等差数列 的公差 =1，前 项和为 .
(I)若 成等比数列，求 ；
(II)若 ，求 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱 中， 平面 ， ，
（I）当正视方向与向量 的方向相同时，画出四棱锥 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（II）若M为PA的中点，求证：求二面角 平面 ；
（III）求三棱锥 的体积.
19．（本小题满分12分）
某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组： 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
0.1000.0500.0100.001
2.7063.8416.63510.828
（注：此公式也可以写成 ）
20．（本小题满分12分）
如图，抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 .点 在抛物线 上，以 为圆心， 为半径作圆，设圆 与准线 交于不同的两点 ， .
（I）若点 的纵坐标为2，求 ；
（II）若 ，求圆 的半径.
21．（本小题满分12分）
如图，在等腰直角 中， ， ，点 在线段 上.
（I）若 ，求 的长；
（II）若点 在线段 上，且 ，问：当 取何值时， 的面积最小？并求出面积的最小值.
22．（本小题满分14分）
已知函数 （ ， 为自然对数的底数）.
（I）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值；
（II）求函数 的极值；
（III）当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值.
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