2013年高三数学二模文科试卷(丰台区有答案)

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北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习(二)
数学(文科)
第一部分( 共40分)
一、共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 复数 的虚部为
(A)3 (B) (C)4 (D)
2. 若a∈R,则“a=1”是“a=1”的
(A)充要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分而不必要条件 (D)既不充分又不必要条件
3. 设向量a=(4,x),b=(2,-1),且a?b,则x的值是
(A)8 (B)?8 (C)2 (D) -2
(A) (B) (C) (D)
5. 下列四个函数中,最小正周期为 ,且图象关于直线 对称的是
(A) (B)
(C) (D)
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
(A)24 (B) 20+4
(C)28 (D)24+ 4
7.在平面区域 内任取一点 ,若 满足 的概率大于 ,则 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
8. 已知偶函数f(x)(x∈R),当 时,f(x)=-x(2+x),当 时,f(x)=(x-2)(a-x)( ).
关于偶函数f(x)的图象G和直线 :y=m( )的3个命题如下:
①当a=2,m=0时,直线 与图象G恰有3个公共点;
②当a=3,m= 时,直线 与图象G恰有6个公共点;
③ ,使得直线 与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.
其中正确命题的序号是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
第二部分(非选择题 共110分)
二、题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 过点 且与直线 平行的直线方程为 .
10.已知变量 具有线性相关关系,测得 的一组数据如下: ,其回归方程为 ,则 的值等于 .
11.等差数列{an}中,a3=5,a5=3,则该数列的前10项和S10的值是_______.
12.若 ,则 的值是 .
13.若函数 在[-2,1]上的最大值为4,最小值为m,则m的值是____.
14. 已知直线x=2,x=4与函数 的图象交于A,B两点,与函数 的图象交于C,D两点,则直线AB,CD的交点坐标是_________.
三、解答题共6小题,共80分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. 本小题13分) 已知 的三个内角分别为A,B,C,且
(Ⅰ)求A的度数;
(Ⅱ)若 求 的面积S.
16.(本小题13分)高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图).
(Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差;
(Ⅱ)从身高超过180cm的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率.
17. (本小题13分)如图,多面体EDABC中,AC,BC,CE两两垂直,AD//CE, , ,M为BE中点.
(Ⅰ)求证:DM//平面ABC;
(Ⅱ)求证:平面BDE 平面BCD.
18.(本小题13分)已知函数 .
(Ⅰ)若直线 与曲线 相切,切点是P(2,0),求直线 的方程;
(Ⅱ)讨论 的单调性.
19.(本小题14分)已知椭圆C: ,其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m, ) 满足 ,且 .
(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;
(Ⅱ)用m表示点E,F的坐标;
(Ⅲ)证明直线EF与y轴交点的位置与m无关.
20. (本小题14分)已知等差数列 的通项公式为an=3n-2,等比数列 中, .记集合 , ,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前50项和 ;
(Ⅲ)把集合 中的元素从小到大依次排列构成数列 ,写出数列 的通项公式,并说明理由.
丰台区2013年高三第二学期统一练习(二)
数学(文科)
一、选择题选择题共8小题,每小题5分,共40分.
题号12345678
答案ACACDBDD
二、题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 2x-y+2=0; 10.0.9; 11.25; 12. ; 13. 或 ; 14. (0,0).
三、解答题共6小题,共80分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. 本小题13分) 已知 的三个内角分别为A,B,C,且
(Ⅰ)求A的度数;
(Ⅱ)若 求 的面积S.
解: (Ⅰ)
, ……………………….2分
, ……………………….4分
°. …………………….6分
(Ⅱ)在 中, ,
或 (舍),………….10分
. …………………….13分
16.(本小题13分)高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图).
(Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差;
(Ⅱ)从身高超过180cm的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率.
解: (Ⅰ)
………………………….3分
;
………………………….6分
答: 第一组学生身高的平均值为173cm,方差为23.6 。
(Ⅱ)设“甲、乙在同一小组”为事件A, ………………………….7分
身高在180以上的学生别记为a,b,c,d,e,其中a,b属于第一组,c,d,e属于第二组。
从五位同学中随机选出两位的结果是如下10种:
(a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e).
其中两位同学在同一小组的4种结果是:(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) . ……….11分
.
答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为 . ………………………….13分
17. (本小题13分)如图,多面体EDABC中,AC,BC,CE两两垂直,AD//CE, , ,M为BE中点.
(Ⅰ)求证:DM//平面ABC;
(Ⅱ)求证:平面BDE 平面BCD.
解:(Ⅰ)设N为BC中点,连结MN,AN,
M为BE中点,
MN//EC,且MN= EC,
AD//EC,且AD= EC,
四边形ANMD为平行四边形, ……………………….3分
AN //DM
DM 平面ABC,AN 平面ABC,
DM//平面ABC; ……………………….6分
(Ⅱ) , , 平面ACED,
平面ACED, DE, ……………………….9分
∵DE DC,
又 BC, , DE 平面BCD. ……………………….12分
平面BDE, 平面BDE 平面BCD. ……………………….13分
19.(本小题13分)设函数 .
(Ⅰ)若直线 与曲线 相切,切点是P(2,0),求直线 的方程;
(Ⅱ)讨论 的单调性.
解:(Ⅰ)∵P(2,0)在函数f(x)的图象上,?f(2)=0
? ,即 ,
. ……………………….2分
?f(x)= ,? ,
? , ……………………….4分
?直线l的方程为y=x-2,即x-y-2=0 . ……………………….5分
(Ⅱ) 的定义域为 , ……………………….6分
, ………………………7分
由 得 ,
①当 时, 在(0,+?)上恒成立,当且仅当x=1时, ,
的单调递增区间是(0,+?); ………………………8分
②当a=0时,, , ,
的单调递增区间是(1,+?), 的单调递减区间是(0,1);……9分
③当 时, , ,
的单调递增区间是(0,a)和(1,+?), 的单调递减区间是(a,1);
………………………11分
④当 时, , ,
的单调递增区间是(0,1)和(a,+?), 的单调递减区间是(1,a).
19.(本小题14分)已知椭圆C: ,其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m, ) 满足 ,且 .
(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;
(Ⅱ)用m表示点E,F的坐标;
(Ⅲ)证明直线EF与y轴交点的位置与m无关.
解:(Ⅰ)依题意知 , , ; ………… 3分
(Ⅱ) ,M (m, ),且 , ………………………4分
直线AM的斜率为k1= ,直线BM斜率为k2= ,
直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , ……………6分
由 得 ,
………………………8分
由 得 ,
; ………………………10分
(Ⅲ)据已知, ,
直线EF的斜率 …………………12分
直线EF的方程为 , ………………13分
令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关. ………………14分
20. (本小题14分)已知等差数列 的通项公式为an=3n-2,等比数列 中, .记集合 , ,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前50项和 ;
(Ⅲ)把集合 中的元素从小到大依次排列构成数列 ,写出数列 的通项公式,并说明理由.
解:(Ⅰ)设等比数列 的公比为q,
,则q3=8, q=2, bn=2n-1, ………………………3分
(Ⅱ)根据数列{an}和数列 的增长速度,数列 的前50项至多在数列{an}中选50项,数列{an}的前50项所构成的集合为{1,4,7,10,…,148},由2n-1<148得,n≤8,数列{bn}的前8项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},其中1,4,16,64是等差数列{an}中的项,2,8,32,128不是等差数列中的项,a46=136>128,故数列{cn}的前50项应包含数列{an}的前46项和数列{bn}中的2,8,32,128这4项. …………………6分
所以S50= =3321; ………………………8分
(Ⅲ)据集合B中元素2,8,32,128 A,猜测数列 的通项公式为dn =22n-1. …9分
dn=b2n , 只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n A( ) ……………………11分
证明如下:
b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1,
若 m∈N*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若b2n-1∈A,则b2n+1∈A.因为b1∈A,重复使用上述结论,即得b2n-1∈A( )。
同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1” 数列 的公差3的整数倍,所以说明b2n 与b2n+2 同时属于A或同时不属于A,
当n=1时,显然b2=2 A,即有b4=2 A,重复使用上述结论,
即得b2n A, dn =22n-1;


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